§ 3. Другие формы определения f(A). Компоненты матрицы A

Вернемся к формуле (14) для . Подставляя в нее выражения (12) для коэффициентов  и объединяя члены, содержащие одно и то же значение функции  или какой-либо ее производной, мы представим  в виде

.              (15)

Здесь   – легко вычисляемые многочлены от  степени . Эти многочлены вполне определяются заданием  и не зависят от выбора функции . Число этих многочленов равно числу значений функции  на спектре матрицы , т. е. равно  [ – степень минимального многочлена ]. Функция  представляет собой интерполяционный многочлен Лагранжа–Сильвестра для функции, у которой все значения на спектре матрицы  равны нулю, за исключением одного , равного 1.

Из формулы (15) следует основная формула для :

,                    (16)

где

  .             (17)

Матрицы  вполне определяются заданием матрицы  и не зависят от выбора функции . В правой части формулы (16) функция  представлена только своими значениями на спектре матрицы .

Матрицы   будем называть составляющими матрицами или компонентами данной матрицы .

Компоненты матрицы  всегда линейно независимы.

Действительно, пусть

.               (18)

Определим интерполяционный многочлен  из  условий

          .             (19)

Тогда, согласно формуле (15),

.                     (20)

Из сопоставления формул (18) и (19) находим

.                   (21)

Но степень интерполяционного многочлена , задаваемого формулой (20), меньше , т. е. меньше степени минимального многочлена . Поэтому из равенства (21) следует тождество

.

Но тогда согласно (19)

,

что и требовалось доказать.

Из линейной независимости составляющих матриц  следует, между прочим, что ни одна из этих матриц не равна нулю. Заметим еще, что любые две из компонент  перестановочны между собой и с матрицей , поскольку все они суть скалярные многочлены от .

Формулой (16) для  особенно удобно пользоваться тогда, когда приходится иметь дело с несколькими функциями от одной и той же матрицы , либо когда функция  зависит не только от , но и от некоторого параметра . В последнем случае в правой части формулы (16) компоненты  не зависят от  и параметр  входит только в скалярные коэффициенты при этих матрицах.

В примере на стр.109, где , мы можем  представить в виде

,

где

Поэтому,

,

где

Если дана матрица , то для конкретного нахождения компонент этой матрицы можно в основной формуле (16) положить , где  – некоторый параметр. Тогда получим:

,                      (22)

где  – приведенная присоединенная матрица для  (гл. IV, §6).

Матрицы   являются числителями простейших дробей в разложении (22), и потому по аналогии с разложением (9) эти числители могут быть выражены через значения  на спектре матрицы  по формулам, подобным (11):

,      ,    ….

Отсюда

         .             (23)

Подставляя в (16) вместо составляющих матриц их выражения (22), мы можем основную формулу (16) представить в виде

.              (24)

Пример 1.

,     .

В данном случае . Поскольку минор элемента  в  равен 1, то , и потому,

и

Основная формула в данном случае имеет вид

.                      (25)

Полагая здесь , находим:

,

откуда

, , .

Пользуясь приведенным выше выражением для , вычисляем  и подставляем полученные результаты в (25):

Пример 2. Покажем, как можно определить , исходя только из основной формулы. Пусть снова

, .

Тогда

.                      (25')

Подставим в формулу (25') вместо  последовательно :

.

Вычитая из первых двух равенств почленно третье, определим все . Подставляя в (25'), получим выражение для .

Разобранные примеры иллюстрировали три способа практического нахождения . В первом способе мы находили интерполяционный многочлен  и полагали . Во втором способе мы, пользуясь разложением (22), выражали компоненты  в формуле (16) через значения приведенной присоединенной матрицы  на спектре матрицы . В третьем способе мы исходили из основной формулы (16) и подставляли в нее вместо  последовательно некоторые простейшие многочлены; из полученных линейных уравнений определяли составляющие матрицы .

Третий способ является, пожалуй, практически наиболее удобным. В общем виде его можно сформулировать так:

В формулу (16) вместо  подставляем последовательно некоторые многочлены :

       .                       (26)

Из  уравнений (26) определяем  матриц  и подставляем полученные выражения в (16).

Результат исключения  из -гo равенства (26) и (16) может быть записан в виде

.

Разлагая этот определитель по элементам первого столбца, мы получим искомое выражение для . Здесь при  в качестве множителя будет стоять определитель  (в -й строке определителя  стоят значения многочлена  на спектре матрицы ; ). Для того чтобы можно было определить , нужно, чтобы . Это будет иметь место, если никакая линейная комбинация многочленов  не обращается сплошь в нуль на спектре матрицы , т. е. не делится на .

Условие  всегда выполнено, если степени многочленов  соответственно равны .

В заключение отметим, что большие степени матрицы  удобно вычислять по основной формуле (16), заменяя в ней  на .

Пример. Дана матрица . Требуется вычислить элементы степени . Минимальный многочлен .

Основная формула

.

Заменяя здесь  на 1, а затем на , получим:

, .

Поэтому

.

Полагая , найдем:

.