§ 6. Линейные операторы, отображающие n-мерное пространство само в себя
1. Линейный
оператор, отображающий 
-мерное векторное пространство 
само в себя (в
данном случае 
,
) мы
будем просто называть линейным оператором в .
Сумма двух
линейных операторов в а также произведение такого оператора
на число — снова линейные операторы в . Умножение двух таких линейных
операторов всегда выполнимо, и произведение их есть снова линейный оператор в . Таким образом, линейные
операторы в образуют
кольцо. В этом кольце имеется единичный оператор, т. е. оператор 
, для которого
.
При этом для
произвольного оператора 
в
.
Если — линейный
оператор в ,
то имеет смысл 
,
, … и
вообще 
.
Кроме того, полагаем 
. Тогда, как легко видеть, при любых
целых неотрицательных 
и 
.
Пусть 
— многочлен
относительно скалярного аргумента 
с коэффициентами из поля 
. Тогда полагаем
.
При этом 
для любых двух
многочленов 
и
.
Пусть
. (45)
Обозначим через 
координаты вектора
в
произвольном базисе 
, а через 
— координаты вектора 
в том же базисе.
Тогда
. (46)
В базисе линейному оператору
отвечает
квадратная матрица 
. Напомним читателю (см. стр. 71), что
в 
-м
столбце этой матрицы стоят координаты вектора 
(
), т. е.
. (47)
Вводя
координатные столбцы 
и 
, мы преобразование (46) можем
записать в матричной форме
. (48)
Сумме и
произведению двух операторов и 
отвечают сумма и произведение
соответствующих квадратных матриц и 
. Произведению 
соответствует матрица . Единичному
оператору отвечает
квадратная единичная матрица 
. Таким образом, выбор базиса
устанавливает изоморфное соответствие между кольцом линейных операторов в кольцом квадратных
матриц -го
порядка с элементами из . При этом соответствии многочлену
соответствует
матрица .
2. Рассмотрим
наряду с базисом другой
базис 
в . Тогда аналогично
(48)
, (49)
где 
, 
— столбцевые
матрицы, составленные из координат векторов , в базисе , а 
— квадратная матрица,
соответствующая оператору в этом базисе. Запишем в матричной
форме формулы преобразования координат
, 
. (50)
Тогда из (48) и
(50) находим:
,
что в
сопоставлении с (49) дает:
. (51)
Формула (51)
представляет собой специальный частный случай формулы (31) на стр. 75 (в данном
случае 
,
).
Определение 10.
Две матрицы и
,
связанные соотношением
, (51')
где 
— некоторая
неособенная матрица, называются подобными.
Таким образом,
мы показали, что две матрицы, соответствующие одному и тому же линейному
оператору в при
различных базисах, подобны между собой, причем матрица связывающая эти матрицы,
совпадает с матрицей преобразования координат при переходе от первого базиса ко
второму (см. (50)).
Другими словами,
линейному оператору в отвечает целый класс подобных между
собой матриц; эти матрицы представляют данный оператор в различных базисах.
Изучая свойства
линейного оператора в , мы тем самым изучаем свойства
матриц, присущие одновременно всему классу подобных матриц, т. е. изучаем
свойства матриц, остающиеся неизменными инвариантными при переходе от данной
матрицы к матрице, ей подобной.
Заметим еще, что
две подобные матрицы имеют всегда равные определители. Действительно, из (51')
следует, что
. (52)
Равенство 
— является
необходимым, но не достаточным условием для подобия матриц и .
В главе VI будет
установлен критерий подобия двух матриц, т. е. будут даны необходимые и
достаточные условия для того, чтобы две квадратные матрицы -го порядка были подобны
между собой.
Согласно
равенству (52) мы можем под определителем линейного оператора в 
понимать
определитель любой матрицы, соответствующей данному оператору.
Если 
, то оператор называется
особенным (соответственно неособенным). Согласно этому определению в любом
базисе особенному (неособенному) оператору отвечает особенная (соответственно
неособенная) матрица. Для особенного оператора:
1) всегда
существует вектор 
такой, что 
,
2) 
составляет
правильную часть .
Для неособенного оператора:
1) из следует 
;
2) 
, т. е. векторы
вида 
заполняют все
пространство .
Другими словами,
линейный оператор в является особенным или неособенным в зависимости
от того, больше или равен пулю его дефект.
3. Если — неособенный
оператор, то в равенстве задание вектора 
однозначно определяет
вектор 
. Действительно,
существование вектора следует из того, что векторы вида заполняют все
пространство .
С другой стороны, из равенств 
и 
следует: 
и отсюда: 
, т. е. 
. Поэтому, исходя
из равенства ,
можно определить обратный оператор 
равенством 
. Легко видеть, что обратный
оператор для
линейного оператора в также является линейным оператором в ; при этом
,
где — единичный
оператор. Если в некотором базисе неособенному оператору отвечает неособенная
матрица ,
то в этом базисе обратному оператору , соответствует матрица .
Рассмотрим
некоторые частные типы линейных операторов в .
1°. Оператор 
в называется инволютивным,
если 
.
Инволютивный оператор неособенный и для него 
. Инволютивному оператору в любом
соответствует инволютивная матрица , т. е. матрица , для которой .
2°. Оператор 
в называется проекционным,
если 
.
Пусть дано произвольное расщепление пространства на два подпространства 
и : 
. Тогда для любого
вектора имеет
место разложение 
,
где 
, 
. Вектор 
называется проекцией
вектора на
подпространство параллельно
подпространству .
Рассмотрим оператор , осуществляющий проектирование
пространства на
подпространство параллельно
подпространству ,
т. е. оператор в ,
определяемый равенством 
для любого вектора . Очевидно, этот
оператор является линейным, но он является и проективным, так как , 
и, следовательно,
, т. е. .
Легко
проверяется и обратное утверждение. Произвольный проекционный оператор в осуществляет
проектирование всего пространства на подпространство 
параллельно
подпространству 
.
Любая
натуральная степень проекционного оператора является проекционным оператором.
Если — проекционный
оператор, то и 
—
проекционный оператор, так как 
.
Квадратная
матрица называется
проекционной, если . Очевидно, в произвольном базисе
проекционному оператору соответствует проекционная матрица.
