§ 6. Применение функций от матрицы к интегрированию системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
1.
Рассмотрим сначала систему однородных линейных дифференциальных уравнений с
постоянными коэффициентами первого порядка:
(38)
здесь
– независимое
переменное,
–
неизвестные функции переменной
,
– комплексные числа.
Введем
в рассмотрение квадратную матрицу
, составленную из коэффициентов, и
столбцевую матрицу
. Тогда система уравнений (38) может
быть записана в виде одного матричного дифференциального уравнения
. (39)
Здесь
и в дальнейшем под производной от матрицы мы понимаем матрицу, получающуюся из
данной путем замены всех элементов их производными. Поэтому
– столбцевая матрица с
элементами,
.
Будем
искать решение системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющее заданным
начальным условиям:
,
или
в сокращенной записи:
. (40)
Разложим
искомый столбец
в
ряд Маклорена по степеням
:
. (41)
Но
из (39) почленным дифференцированием находим:
,
, …. (42)
Подставляя
в (39) и (42) значение
, получим:
,
, ….
Теперь
ряд (41) запишется так:
. (43)
Непосредственной
подстановкой в (39) убеждаемся в том, что (43) есть решение дифференциального
уравнения (39). Полагая в (43)
, найдем:
.
Таким
образом, формула (43) дает нам решение данной системы дифференциальных
уравнений, удовлетворяющее начальным условиям (40).
Положим
в (16)
.
Тогда
. (44)
Теперь
решение (43) может быть записано в следующей форме:
(45)
здесь
– произвольные
постоянные, равные начальным значениям неизвестных функций
.
Таким
образом, интегрирование данной системы дифференциальных уравнений сведено к
вычислению элементов матрицы
.
Если
в качестве начального значения аргумента взять значение
, то формула (43) заменится
формулой
. (46)
Пример.
Матрица
коэффициентов:
.
Составим
характеристический определитель
.
Наибольший
общий делитель миноров второго порядка этого определителя
. Поэтому
.
Основная
формула:
.
Возьмем
вместо
последовательно
.
Получим:
Определенные
отсюда
и
подставляем
в основную формулу:
.
Заменяя
здесь
на
, будем
иметь:
.
Таким
образом,
,
где
,
,
.
2.
Рассмотрим теперь систему неоднородных линейных дифференциальных уравнений с
постоянными коэффициентами:
, (47)
где
– непрерывные
функции в интервале
. Обозначая через
столбцевую матрицу с
элементами
и
снова полагая
,
мы систему (47) запишем так:
. (48)
Введем
вместо
новый
столбец неизвестных функций
, связанный с
соотношением
. (49)
Дифференцируя
почленно (49) и подставляя полученное выражение для
в (48), найдем:
. (50)
Отсюда
(51)
и
потому согласно (49)
; (52)
здесь
– столбец
с произвольными постоянными элементами.
Давая
в (52) аргументу
значение
, найдем:
,
и,
следовательно, решение (52) может быть записано так:
. (53)
Полагая
, мы
решение (53) можем записать в развернутом виде так:
(54)
3.
Рассмотрим в качестве примера движение весомой материальной точки в пустоте
вблизи поверхности Земли с учетом движения Земли. В этом случае, как известно,
ускорение точки относительно Земли определяется постоянной силой веса
и инерционной
кориолисовой силой –
(
– скорость точки относительно Земли,
– постоянная
угловая скорость Земли). Поэтому дифференциальное уравнение движения точки
имеет вид
, (55)
Определим
лилейный оператор
в трехмерном евклидовом пространстве
равенством
(56)
и
напишем вместо (55):
. (57)
Сопоставляя
(57) с (48), легко найдем по формуле (53):
.
Интегрируя
почленно, определим радиус-вектор движущейся точки:
, (58)
где
и
.
Подставляя
вместо
сумму
ряда
и
заменяя оператор
его
выражением из (56), будем иметь:
.
Считая
угловую скорость
малой
величиной (для Земли
) и отбрасывая члены, содержащие
вторую и высшие степени
, мы для дополнительного отклонении
точки, вызванного вращением Земли, получим приближенную формулу
.
Возвращаясь
к точному решению (58), вычислим
. Предварительно установим, что
минимальный многочлен оператора
имеет вид
.
Действительно,
из (56) находим:
Отсюда
и из (56) следует, что операторы
линейно независимы, а
.
Минимальный
многочлен
имеет
простые корни
.
Интерполяционный многочлен Лагранжа для
имеет вид
.
Тогда
.
Подставляя
это выражение для
в (58) и заменяя оператор
его выражением из
(56), найдем:
(59)
Рассмотрим
частный случай
.
Тогда, раскрывая тройное векторное произведение, получим:
,
где
– географическая
широта в данном месте Земли. Член
представляет
собой отклонение, направленное перпендикулярно к плоскости меридиана на восток,
а последнее слагаемое в правой части последней формулы дает отклонение, лежащее
в плоскости меридиана и направленное от земной оси (перпендикулярно к ней).
4.
Пусть теперь дана следующая система линейных дифференциальных уравнений второго
порядка:
, (60)
где
– постоянные
коэффициенты. Вводя снова столбец
и квадратную матрицу
, мы перепишем
систему (60) в матричном виде
.
Рассмотрим
сначала случай, когда
. Если
, т. е.
и
– скаляры и
, общее решение уравнения
(60) может быть записано в виде
, (61)
где
и
.
Непосредственной
проверкой убеждаемся, что (61) представляет собой решение уравнения (60) при
любом
,
когда
– столбец,
а
–
неособенная квадратная матрица. При этом мы опираемся на формулы
(62)
Формула
(61) охватывает все решения системы (60) или (60'), поскольку начальные
значения
и
могут
быть выбраны произвольно.
В
формулах (62) правые части имеют смысл и при
. Поэтому (61) представляет собой
общее решение данной системы дифференциальных уравнений и в случае, когда
, если только под
функциями
и
,
входящими в состав этого выражения, понимать правые части формул (62).
Предоставляем
читателю проверить, что общее решение неоднородной системы
, (63)
удовлетворяющее
начальным условиям
и
, может быть записано в виде
(64)
Если
в качестве начального момента времени берется
, то в формулах (61) и (64) следует
заменить
и
на
и
, а
на
.