§ 3. Приводимые системы
Среди систем линейных дифференциальных уравнений
первого порядка наиболее простыми и наиболее изученными являются системы с
постоянными коэффициентами. Поэтому представляют интерес системы, которые при
помощи преобразования Ляпунова могут быть приведены к системам с постоянными
коэффициентами. Такие системы А. М. Ляпунов называл приводимыми.
Пусть дана приводимая система
(19)
Тогда некоторое преобразование Ляпунова
(20)
переводит ее в систему
, (21)
где 
- постоянная матрица. Поэтому
система (19) имеет частное решение
(22)
Легко видеть, что, и обратно, всякая система (19),
имеющая частное решение вида (22), где 
- матрица
Ляпунова, а -
постоянная матрица, является приводимой и при этом она приводится к виду (21)
при помощи преобразования Ляпунова (20).
Следуя А. М. Ляпунову, покажем, что
всякая система (19) с периодическими
коэффициентами приводима.
Пусть в данной системе (19)
- непрерывная
функция в интервале 
с периодом 
:
(23)
Заменяя в (19)
на 
и используя
(23), получим:
.
Таким образом, 
, как и
является
интегральной матрицей системы (19). Поэтому 
,
где 
- некоторая
постоянная неособенная матрица. Поскольку 
, то можно определить
Эта матричная функция от , как и , умножается справа на , если к аргументу
прибавить .
Поэтому «частное»
является непрерывной периодической функцией с
периодом :
и с определителем 
. Матрица
удовлетворяет
условиям 1°-3° предыдущего параграфа и, следовательно, является матрицей
Ляпунова.
С другой стороны, поскольку решение 
системы (19)
представимо в виде
то система (19) приводима.
В данном случае преобразование Ляпунова
,
приводящее систему (19) к виду
,
имеет периодические коэффициенты с периодом
А. М. Ляпуновым был установлен весьма важный
критерий устойчивости и неустойчивости по первому линейному приближению для
нелинейных систем дифференциальных уравнении
, (24)
где в правых частях стоят сходящиеся степенные ряды
относительно 
,
а 
обозначает
сумму членов этих рядов второго порядка и выше относительно
; коэффициенты 
в линейных
членах постоянны.
Критерий Ляпунова.
Нулевое решение системы (24) будет
устойчивым (и притом асимптотически), если матрица коэффициентов первого
линейного приближения 
имеет все характеристические числа
с отрицательными вещественными частями, и неустойчивым, если
хотя
бы одно из этих характеристических чисел имеет положительную вещественную
часть.
Приведенные выше рассуждения позволяют использовать
этот критерий для систем с периодическими коэффициентами в линейных членах:
(25)
Действительно, на основании предыдущих рассуждений
можно при помощи преобразования Ляпунова систему (25) привести к виду (24), где
,
а
-
постоянная матрица, на которую умножается интегральная матрица соответствующей
линейной системы (19) при сдвиге аргумента на . Не нарушая общности, можем считать 
. В силу свойств преобразования
Ляпунова нулевое решение исходной системы и нулевое решение преобразованной
одновременно являются устойчивыми, асимптотически устойчивыми или
неустойчивыми. Но характеристические числа 
и 
матриц
и связаны между
собой формулой
.
Поэтому, применяя критерий Ляпунова к приведенной
системе, найдем:
Нулевое решение системы
(25)
будет асимптотически устойчивым, если все характеристические числа 
матрицы по модулю <1, и
неустойчивым, если хотя бы одно из этих чисел по модулю >1.
А. М. Ляпунов установил свой критерий устойчивости
по линейному приближению для значительно более широкого класса систем, а именно
для систем вида (24), у которых система линейного приближения не обязательно
система с постоянными коэффициентами, но принадлежит к классу систем, названных
Ляпуновым правильными.
Класс правильных линейных систем содержит в себе как
часть все приводимые системы.
Критерий неустойчивости для случая, когда первое
линейное приближение является правильной системой, был установлен Н. Г.
Четаевым.
