§ 8. Мультипликативный интеграл в комплексной области

Мультипликативный интеграл вдоль некоторой кривой в комплексной плоскости определяется следующим образом.

Пусть даны некоторый путь  и матричная функция , непрерывная на кривой . Разобьем путь  на  частей ; здесь  - начало,  - конец пути, а  - промежуточные точки разбиения. На отрезке пути  выберем произвольную точку и введем обозначения ; . Тогда по определению

Сопоставляя это определение с определением на стр. 434, мы видим, что новое определение совпадает с прежним в том частном случае, когда путь  является отрезком вещественной оси. Однако и в общем случае, когда путь  произвольно расположен в комплексной плоскости, новое определение может быть сведено к старому при помощи замены переменной интегрирования.

Если

есть параметрическое уравнение пути, причем  - непрерывная функция в интервале , имеющая в этом интервале кусочно-непрерывную производную , то, как легко видеть,

Эта формула показывает, что мультипликативный интеграл вдоль произвольного пути существует, если подинтегральная матрица  непрерывна вдоль этого пути.

Мультипликативная производная определяется прежней формулой

При этом предполагается, что  - аналитическая функция.

Все дифференциальные формулы (I - III) предыдущего параграфа переносятся без изменения на случай комплексного аргумента. Что же касается интегральных формул IV - VI, то несколько видоизменяется их внешняя запись:

IV'.

V'.

VI'.  ( - постоянная матрица)

В формуле IV' мы через  обозначили составной путь, получающийся при прохождении сначала пути , а затем пути . В формуле  обозначает путь, отличающийся от пути  только направлением.

Формула VII принимает теперь вид

VII'.

Здесь  и  в правой части обозначают соответственно значения  в начале и в конце пути .

Формула VIII заменится теперь формулой

VIII'.

где , , , а  - длина пути .

Формула VIII' получается сразу из формулы VIII, если в последней сделать преобразование переменной, выбрав в качестве новой переменной интегрирования длину дуги  вдоль пути  (при этом ).

Как и в случае вещественного аргумента, существует тесная связь мультипликативного интеграла с матрицантом.

Пусть дана однозначная аналитическая матричная функция , регулярная в области , и пусть  - односвязная область, содержащая точку  и составляющая часть области . Тогда матрицант  будет регулярной функцией от  в области .

Соединим точки  и  произвольным путем , целиком лежащим в , и выберем на  промежуточные точки . Тогда, пользуясь равенством

совершенно так же, как в § 6 (стр. 433), предельным переходом получим:

          (62)

Из этой формулы видно, что мультипликативный интеграл не зависит от формы пути, а зависит только от начала и конца пути, если весь путь интегрирования лежит в односвязной области , в которой подинтегральная функция  регулярна. В частности, для замкнутого контура , лежащего в односвязной области , имеем:

                                                  (63)

Эта формула представляет собой аналог известной теоремы Коши, согласно которой обычный (немультипликативный) интеграл вдоль замкнутого контура равен нулю, если этот контур лежит в односвязной области, в которой подинтегральная функция регулярна.

Представление матрицанта в виде мультипликативного интеграла (62) может быть использовано для аналитического продолжения матрицанта вдоль произвольного пути  в области . В этом случае формула

                                        (64)

задает все ветви многозначной интегральной матрицы  дифференциального уравнения , обращающейся в  на одной из ветвей при . Различные ветви получаются за счет различных путей, соединяющих точки  и .

Согласно формуле Якоби (56)

и, в частности, при

                                 (65)

Из этой формулы следует, что мультипликативный интеграл всегда представляет собой неособенную матрицу, если только путь интегрирования целиком лежит в области, в которой функция  регулярна.

Если  - произвольный замкнутый путь в  и  - неодносвязная область, то равенство (63) может и не иметь места. Более того, в этом случае значение интеграла

не определяется заданием подинтегральной функции и замкнутого пути интегрирования , а зависит еще и от выбора начальной точки интегрирования  на кривой . Действительно, выберем на замкнутой кривой  две точки и  и  и обозначим участки пути от  до  и от  до  (в направлении интегрирования) соответственно через  и . Тогда согласно формуле IV’

,

и, следовательно,

                                                   (66)

Формула (66) показывает, что символ  определяет некоторую матрицу с точностью до преобразования подобия, т. е. определяет только элементарные делители некоторой матрицы.

Рассмотрим элемент  решения (64) в окрестности точки . Пусть  - произвольный замкнутый путь в , начинающийся и кончающийся в точке . После аналитического продолжения вдоль  элемент  перейдет в некоторый элемент. При этом новый элемент  будет удовлетворять тому же дифференциальному уравнению (55), поскольку  - однозначная функция в . Поэтому , где  - некоторая неособенная постоянная матрица. Из формулы (64) следует, что

Сопоставляя это равенство с предыдущим, найдем:

                      (67)

В частности, для матрицанта  имеем , и тогда

                                  (68)