§ 8. Мультипликативный интеграл в комплексной области
Мультипликативный интеграл вдоль некоторой кривой в
комплексной плоскости определяется следующим образом.
Пусть даны некоторый путь 
и матричная
функция 
, непрерывная на
кривой . Разобьем путь на 
частей 
; здесь 
- начало, 
- конец пути, а 
- промежуточные
точки разбиения. На отрезке пути 
выберем
произвольную точку и введем обозначения
; 
. Тогда по определению
Сопоставляя это определение с определением на стр.
434, мы видим, что новое определение совпадает с прежним в том частном случае,
когда путь является
отрезком вещественной оси. Однако и в общем случае, когда путь произвольно
расположен в комплексной плоскости, новое определение может быть сведено к
старому при помощи замены переменной интегрирования.
Если
есть параметрическое уравнение пути, причем 
- непрерывная
функция в интервале 
,
имеющая в этом интервале кусочно-непрерывную производную 
, то, как легко видеть,
Эта формула показывает, что мультипликативный
интеграл вдоль произвольного пути существует, если подинтегральная матрица непрерывна
вдоль этого пути.
Мультипликативная производная определяется прежней
формулой
При этом предполагается, что 
- аналитическая функция.
Все дифференциальные формулы (I - III) предыдущего
параграфа переносятся без изменения на случай комплексного аргумента. Что же
касается интегральных формул IV - VI,
то несколько видоизменяется их внешняя запись:
IV'.
V'. 
VI'.
(
- постоянная
матрица)
В формуле IV' мы через 
обозначили составной путь, получающийся
при прохождении сначала пути
,
а затем пути 
. В
формуле 
обозначает
путь, отличающийся от пути только направлением.
Формула VII принимает теперь вид
VII'.
Здесь 
и в правой части
обозначают соответственно значения в
начале и в конце пути .
Формула VIII заменится теперь формулой
VIII'. 
где 
, 
, 
, а 
- длина пути .
Формула VIII' получается сразу из формулы VIII, если
в последней сделать преобразование переменной, выбрав в качестве новой
переменной интегрирования длину дуги 
вдоль пути (при
этом 
).
Как и в случае вещественного аргумента, существует
тесная связь мультипликативного интеграла с матрицантом.
Пусть дана однозначная аналитическая матричная
функция , регулярная в
области
, и
пусть
- односвязная
область, содержащая точку и
составляющая часть области .
Тогда матрицант 
будет
регулярной функцией от 
в области .
Соединим точки и
произвольным
путем , целиком лежащим
в , и выберем на промежуточные
точки . Тогда,
пользуясь равенством
совершенно так же, как в § 6 (стр. 433), предельным
переходом получим:
(62)
Из этой формулы видно, что мультипликативный интеграл
не зависит от формы пути, а зависит только от начала и конца пути, если весь
путь интегрирования лежит в односвязной области , в
которой подинтегральная функция регулярна. В частности, для замкнутого
контура ,
лежащего в односвязной области ,
имеем:
(63)
Эта формула представляет собой аналог известной
теоремы Коши, согласно которой обычный (немультипликативный) интеграл вдоль
замкнутого контура равен нулю, если этот контур лежит в односвязной области, в
которой подинтегральная функция регулярна.
Представление матрицанта в виде мультипликативного
интеграла (62) может быть использовано для аналитического продолжения
матрицанта вдоль произвольного пути в
области
. В
этом случае формула
(64)
задает все ветви многозначной интегральной матрицы 
дифференциального
уравнения 
,
обращающейся в 
на
одной из ветвей при 
.
Различные ветви получаются за счет различных путей, соединяющих точки и .
Согласно формуле Якоби (56)
и, в частности, при 
(65)
Из этой формулы следует, что мультипликативный
интеграл всегда представляет собой неособенную матрицу, если только путь
интегрирования целиком лежит в области, в которой функция регулярна.
Если
-
произвольный замкнутый путь в
и - неодносвязная
область, то равенство (63) может и не иметь места. Более того, в этом случае
значение интеграла
не определяется заданием подинтегральной функции и
замкнутого пути интегрирования , а зависит еще и от выбора начальной
точки интегрирования
на
кривой .
Действительно, выберем на замкнутой кривой две точки и и
и обозначим
участки пути от
до и
от
до
(в
направлении интегрирования) соответственно через 
и 
. Тогда согласно формуле IV’
, 
и, следовательно,
(66)
Формула (66) показывает, что символ 
определяет
некоторую матрицу с точностью до преобразования подобия, т. е. определяет
только элементарные делители некоторой матрицы.
Рассмотрим элемент решения (64) в окрестности точки . Пусть - произвольный
замкнутый путь в , начинающийся и кончающийся в точке . После
аналитического продолжения вдоль
элемент перейдет в
некоторый элемент
.
При этом новый элемент будет удовлетворять тому же
дифференциальному уравнению (55), поскольку - однозначная функция в . Поэтому 
, где 
- некоторая
неособенная постоянная матрица. Из формулы (64) следует, что
Сопоставляя это равенство с предыдущим, найдем:
(67)
В частности, для матрицанта 
имеем , и тогда
(68)
