§ 12. Аналитические функции от многих матриц и их применение к исследованию дифференциальных систем. Работы И. A. Лaппo-Данилевского
Аналитическая функция от
матриц 
-го порядка
может
быть задана при помощи ряда
(156)
сходящегося для всех матриц -го порядка 
,
удовлетворяющих неравенствам
. (157)
Здесь коэффициенты
, 
- комплексные числа,
-
постоянные матрицы -го порядка с положительными
элементами и -
матрицы того же порядка, но переменные и с комплексными элементами.
Теория аналитических функций от нескольких матриц
была развита И. А. Лаппо-Данилевским. На основе этой теории И. А. Лаппо-Данилевский
провел фундаментальные исследования систем линейных дифференциальных уравнений
с рациональными коэффициентами.
Система с рациональными коэффициентами путем
надлежащего преобразования независимой переменной всегда может быть приведена к
виду
(158)
где
- постоянные
матрицы -го порядка, 
- комплексные
числа, 
- целые
положительные числа 
.
Некоторые результаты Лаппо-Данилевского мы
проиллюстрируем на частном случае так называемых
регулярных систем. Последние характеризуются условием 
и записываются в
виде
(159)
Следуя Лаппо-Данилевскому, введем в рассмотрение
специальные аналитические функции - гиперлогарифмы, - определяемые следующими
рекуррентными соотношениями:
,
Рассматривая точки
,
как
точки разветвления логарифмического типа, построим соответствующую риманову
поверхность 
.
Каждый гиперлогарифм будет однозначной функцией на этой поверхности. С другой
стороны, матрицант системы (159) 
(т. е. нормированное в точке 
решение),
будучи аналитически продолжен, также может быть рассматриваем как однозначная
функция на ; при этом в
качестве 
может
быть выбрана любая конечная точка на отличная от .
Для нормированного решения Лаппо-Данилевский дает
явное выражение через определяющие матрицы 
системы (159) в
виде ряда
(160)
Это разложение сходится равномерно относительно 
при любых и представляет в
любой конечной области на поверхности
,
если только эта область не содержит внутри и на границе точек
.
Если ряд (156) сходится при любых матрицах ,
то соответствующая
функция 
называется целой. представляет собой целую функцию от
матриц .
Заставляя в формуле (160) аргумент обойти точку в положительном
направлении один раз так, чтобы контур обхода не захватывал других точек 
(при 
), мы получим
выражение для интегральной
подстановки 
, соответствующей
точке 
:
,
(161)
где в понятных обозначениях
Ряд (161), как и ряд (160), представляет собой целую
функцию от .
Обобщив теорию аналитических функций на случай
бесконечного, но счетного множества матриц-аргументов 
, Лаппо-Данилевский
использовал эту теорию для исследования поведения решения системы в окрестности
иррегулярной особой точки. Мы приведем основной результат.
Нормированное решение системы
где степенной ряд в правой части сходится при
,
может быть представлено рядом
(162)
Здесь 
и 
- скалярные коэффициенты,
определяемые по специальным формулам. Ряд (162) сходится при любых матрицах 
в кольце
(
- произвольное положительное число,
меньшее 
).
Этому кольцу должна принадлежать и точка 
.
Не имея возможности в какой бы то ни было степени
подробно изложить содержание работ Лаппо-Данилевского в настоящей книге, мы
вынуждены ограничиться приведенными выше формулировками некоторых основных
результатов и отослать читателей к соответствующей литературе.
Все относящиеся к дифференциальным уравнениям работы
Лаппо-Данилевского изданы посмертно Академией наук СССР в трех томах в
1934—1936 гг. Кроме того, основные результаты автора изложены в статьях [82] и
небольшой книге [18а]. Сокращенное изложение некоторых результатов можно найти
и в книге В. И. Смирнова «Курс высшей математики», т. III
