§ 7. Приложения к дифференциальным уравнениям
Рассмотрим
приложения полученных результатов к интегрированию системы 
линейных дифференциальных
уравнений первого порядка с 
неизвестными функциями с постоянными коэффициентами
(58)
или в матричной
записи:
(59)
здесь
, 
, (
; 
),
, 
.
Введем
новые неизвестные функции 
, связанные со
старыми
линейным неособенным
преобразованием с постоянными коэффициентами:
, 
(60)
Кроме
того, вместо уравнений (58) можно ваять любые независимых линейных комбинаций их,
что равносильно умножению матриц 
, 
, 
слева на квадратную неособенную
матрицу -го
порядка 
. Подставляя
вместо
в
(59) и умножая (59) почленно слева на , получим:
(61)
где
, 
, 
(62)
При
этом пучки матриц 
и 
строго
эквивалентны друг другу:
(63)
Выберем
матрицы и 
так,
чтобы пучок имел каноническую
квазидиагональную форму
(64)
В
соответствии с диагональными блоками в (64) система дифференциальных уравнений
распадается на 
отдельных
систем вида
, (65)
(66)
(67)
(68)
(69)
где
, 
(70)
, 
, 
, 
и т.д. (71)
, если 
(72)
Таким
образом, интегрирование системы (59) в самом общем случае сведено к
интегрированию частных систем (65) — (69) такого же типа. В этих системах пучок
матриц имеет соответственно
вид 
.
1)
Для того чтобы система (65) не была противоречивой, необходимо и достаточно,
чтобы
,
т.е.
(73)
в
этом случае в качестве неизвестных функций 
, составляющих столбец 
могут
быть взяты произвольные функции от 
.
2)
Система (66) представляет собой систему вида
(74)
или
в подробной записи
(75)
Такая
система всегда совместна. Если в качестве 
взять произвольную функцию от
,
то последовательными квадратурами из (75) определятся все остальные
неизвестные функции 
.
3)
Система (67) представляет собой систему вида
(76)
или
в подробной записи
(77)
Из
всех уравнений (77), кроме первого, мы однозначно определяем 
:
(78)
Подставляя
полученное выражение для 
в первое уравнение,
получаем условие совместности:
(79)
4)
Система (68) представляет собой систему вида
(80)
или
в подробной записи
(81)
Отсюда
последовательно однозначно определяем решение
(82)
5)
Система (69) представляет собой систему вида
(83)
Как было
показано в главе V (параграф 5), общее решение такой системы имеет вид
(84)
здесь
- столбец
с произвольными элементами (начальными значениями неизвестных функций при 
).
Обратный
переход от системы (61) к системе (59) осуществляется формулами (60) и (62),
согласно которым каждая из функций 
является
линейной комбинацией функций 
, а каждая из функций 
линейно (с постоянными
коэффициентами) выражается через функции 
.
Проведенный анализ показывает, что для
совместности системы (58) в общем случае должны выполняться
некоторые определенные линейные конечные и дифференциальные зависимости (с постоянными
коэффициентами) между правыми частями уравнений.
Если эти условия
выполнены, то общее решение системы содержит (в общем случае) линейно как
произвольные постоянные, так и произвольные функции.
Характер
условий совместности и характер решений (в частности количество произвольных
постоянных и произвольных функций) определяются минимальными индексами и
элементарными делителями пучка поскольку от этих индексов и
делителей зависит каноническая форма системы дифференциальных уравнений
(65) — (69).
