§ 7. Элементарные делители матрицы f(A)

1. В настоящем параграфе рассмотрим следующую задачу:

Даны элементарные делители (в поле комплексных чисел) матрицы  и дана функция , определенная на спектре матрицы . Требуется определить элементарные делители (в поле комплексных чисел) матрицы .

Обозначим через

элементарные делители матрицы . Тогда матрица  подобна жордановой матрице

и, следовательно (см. 2 на стр. 106),

.

При этом

,        ,

а

,              (45)

где (см. пример 2 на стр. 106)

.              (46)

Поскольку подобные матрицы  и  имеют одни и те же элементарные делители, то в дальнейшем вместо матрицы  мы будем рассматривать матрицу .

2. Определим сначала дефект  матрицы  или, что то же, матрицы . Дефект квазидиагональной матрицы равен сумме дефектов отдельных диагональных клеток, а дефект матрицы  [см. (46)] равен наименьшему из чисел  и , где  – кратность  как корня , поскольку

.                      (46)

Мы пришли к теореме:

Теорема 8. Дефект матрицы , где матрица  имеет элементарные делители

,                        (47)

определяется формулой

;               (48)

здесь  – кратность  как корня  .

В качестве приложения доказанной теоремы определим все элементарные делители произвольной матрицы , соответствующие, характеристическому числу :

где  , , в случае, когда даны дефекты

матриц

.

Для этого заметим, что , где  . Поэтому для определения дефекта матрицы  следует в формуле (48) положить  для элементарных делителей, соответствующих характеристическому числу , и  во всех других слагаемых . Таким образом, получим формулы

                  (49)

Отсюда

            .                 (50)

3. Вернемся к основному вопросу об определении элементарных делителей матрицы . Как уже отмечалось выше, элементарные делители  совпадают с элементарными делителями , а элементарные делители квазидиагональной матрицы составляются из элементарных делителей диагональных клеток (см. теорему 5). Поэтому вопрос сводится к разысканию элементарных делителей матрицы , имеющей правильную треугольную форму:

.                  (51)

Рассмотрим отдельно два случая:

1. . Характеристический многочлен матрицы , очевидно, равен

.

Тогда, поскольку  делится на  без остатка, то

  .

Здесь через  мы обозначили наибольший общий делитель миноров -го порядка характеристической матрицы

.

Легко видеть, что минор нулевого элемента, отмеченного значком «+», равен  и, следовательно, в нашем случае отличен от нуля. Поэтому здесь . Но тогда из

,

следует, что матрица  имеет только один элементарный делитель .

2. , . В этом случае

       .

Поэтому при любом целом положительном  дефект матрицы

определится равенством

.

Положим

                  .                (52)

Тогда

.             (53)

Поэтому согласно формулам (50) имеем:

, , .

Таким образом, матрица  имеет элементарные делители

                   (54)

где целые числа  и  определяются из (52).

4. Теперь мы уже имеем возможность выяснить,, какие элементарные делители имеет матрица  (см. формулы (45) и (46)]. Каждому элементарному делителю матрицы

отвечает в матрице  диагональная клетка

.            (55)

Очевидно, вопрос сводится к нахождению элементарных делителей клеток вида (55). Но матрица (55) имеет правильную треугольную форму (51), причем здесь

.

Таким образом, приходим к теореме:

Теорема 9. Элементарные делители матрицы  получаются из элементарных делителей матрицы  следующим образом: элементарному делителю

                   (56)

матрицы  при  или при  и  отвечает один элементарный делитель

             (57)

матрицы ; при    элементарному делителю (56) матрицы  соответствуют следующие элементарные делители матрицы :

,                  (58)

где

, , ;

Наконец, при ,  элементарному делителю (56) соответствуют  элементарных делителей первой степени матрицы :

.                  (59)

Отметим следующие частные положения, содержащиеся в этой теореме.

1. Если  – характеристические числа матрицы , то  суть характеристические числа матрицы  (как в первом, так и во втором рядах чисел каждое характеристическое число повторяется столько раз, какова его кратность как корня характеристического уравнения).

2. Если производная  не равна нулю на спектре матрицы , то при переходе от матрицы  к матрице  элементарные делители не «расщепляются», т. е. если матрица  имеет элементарные делители

,

то матрица  имеет элементарные делители

.