§ 7. Экстремальные свойства характеристических чисел регулярного пучка форм

1. Пусть даны две квадратичные формы:

 и ,

причем форма  - положительно определенная. Характеристические числа регулярного пучка форм  занумеруем так, чтобы они шли в неубывающем порядке:

        (69)

Соответствующие этим характеристическим числам главные векторы по-прежнему будем обозначать через :

;

Определим наименьшее значение (минимум) отношения форм , рассматривая все возможные значения переменных, не равные одновременно нулю . Для этого удобно перейти к новым переменным  при помощи преобразования

   ,

где  - главная матрица пучка . В новых переменных отношение форм представится в виде [см. (63)]

                 (70)

Возьмем на числовой оси  точек . Припишем этим точкам соответственно неотрицательные массы . Тогда согласно формуле (70) отношение  будет числовой координатой центра этих масс. Поэтому

.

Отбрасывая временно вторую часть неравенства, выясним, когда в первой части имеет место знак равенства. Для этого выделим в (69) группы равных характеристических чисел:

                           (71)

Центр масс может совпадать с крайней точкой , лишь в том случае, когда все массы вне этой точки равны нулю, т. е. когда

.

В этом случае соответствующее  будет линейной комбинацией главных столбцов . Поскольку все эти столбцы отвечают характеристическим числам, равным , то и  будет главным столбцом (вектором) для .

Нами доказана

Теорема 10. Наименьшее характеристическое число регулярного пучка  является минимумом отношения форм  и .

,             (72)

причем этот минимум достигается только на векторах, являющихся главными для характеристического числа .

2. Для того чтобы дать аналогичную «минимальную» характеристику для следующего характеристического числа , ограничимся рассмотрением всех векторов , ортогональных к , т. е. удовлетворяющих уравнению

.

Для этих векторов

и, следовательно,

При этом знак равенства достигается только на тех векторах, ортогональных к  которые являются главными для характеристического числа .

Переходя к дальнейшим характеристическим числам, мы в конце концов получим следующую теорему:

Теорема 11. При любом  -е по величине характеристическое число  в ряду (69) является минимумом отношения форм

,                                                            (73)

при условии, что варьируемый вектор  ортогонален к первым  ортонормированным главным векторам.

                          (74)

При этом минимум достигается только на тех векторах, которые удовлетворяют условию (74) и являются одновременно главными векторами для характеристического числа .

3. Характеристика числа , данная в теореме 11, имеет то неудобство, что она связана с предыдущими главными векторами  и, следовательно, может быть использована только тогда, когда эти векторы известны. Кроме того, в выборе этих векторов имеется известный произвол.

Для  того чтобы дать характеристику числа , свободную от указанных недостатков, мы введем понятие о связях, наложенных на переменные .

Пусть даны линейные формы от переменных :

                          (74’)

Мы будем говорить, что на переменные  или (что то же) на вектор  наложены  связей , если рассматриваются лишь значения переменных, удовлетворяющие системе уравнений.

                                 (74’’)

Сохраняя обозначения (74’) для произвольных линейных форм, мы введем специализированные обозначения для «скалярных обозначений» вектора  на главные векторы :

                      (75)

Кроме того, в случае, когда на варьируемый вектор наложены связи (74’’), будем обозначать  так:

.

В этих обозначениях равенство (73) запишется так:

                     (76)

Рассмотрим связи

                                 (77)

и

                                    (78)

Поскольку число связей (77) и (78) меньше , то существует вектор , удовлетворяющий одновременно всем этим связям. Так как связи (78) выражают ортогональность вектора  к главным векторам , то соответствующие вектору  координаты . Поэтому, согласно (70)

Но тогда

Это неравенство в соединении с (76) показывает, что при варьировании связей  величина  остается  и достигает , если взять специализированные связи.

Нами доказана

Теорема 12. Если мы рассмотрим минимум отношения двух форм  при произвольных  связях  и будем варьировать связи, то максимум этих минимумов будет равен :

                   (79)

Теорема 12 дает «максимально-минимальную» характеристику числам  в отличие от «минимальной» характеристики, о которой идет речь в теореме 11.

4. Заметим, что при замене формы  в пучке  на форму  все характеристические числа пучка меняют знак, а соответствующие главные векторы остаются неизменными. Таким образом, характеристическими числами пучка  являются числа .

Кроме того, обозначая через

                 (80)

в случае, когда на варьируемый вектор наложены связи , мы сможем написать:

и

Поэтому, применяя к отношению  теоремы 10, 11, 12, мы вместо формул (72), (76), (79) получим формулы

Эти формулы устанавливают соответственно «максимальные» и «минимально-максимальные» свойства чисел , которые мы сформулируем в виде следующей теоремы:

Теорема 13. Пусть характеристическим числам

регулярного пучка форм  соответствуют линейно независимые главные векторы пучка . Тогда

1)      Наибольшее характеристическое число  является максимумом отношения форм

                                                       (81)

причем этот максимум достигается только на главных векторах пучка, соответствующих характеристическому числу .

2)      -е (с конца) характеристическое число  является максимумом того же отношения форм

                                         (82)

при условии, что на варьируемый вектор  наложены связи:

  (83)

т. е.

                            (84)

этот максимум достигается только на главных векторах пучка, соответствующих характеристическому числу  и удовлетворяющих связям (83).

3)      Если в максимуме отношения форм  при связях

  варьировать связи, то наименьшее значение (минимум) этого максимума равно :

                     (85)

5. Пусть даны  независимых связей

                  (86)

Тогда из них можно выразить  из переменных  через остальные переменные, которые мы обозначим буквами . Поэтому при наложении связей (86) регулярный пучок форм  переходит в пучок , причем  - снова положительно определенная форма (только от  переменных). Полученный таким образом регулярный пучок имеет  вещественных характеристических чисел

                                              (87)

При наложении связей (86) можно по-разному выразить все переменные через  независимых . Однако характеристические числа (87) не зависят от этого произвола и имеют вполне определенные значения. Это следует хотя бы из максимально-минимальных свойств характеристических чисел

          (88)

и вообще

,   (89)

при этом в формуле (89) варьируются только связи .

Имеет место

Теорема 14. Если - характеристические числа регулярного пучка форм , а  - характеристические числа того же пучка при наложении  независимых связей, то

                       (90)

Доказательство. Неравенства  сразу следуют из формул (79) и (89). Действительно, при добавлении новых связей величина минимума  увеличивается или остается прежней. Поэтому

Отсюда

.

Вторые части неравенства (90) имеют место в силу соотношений

Здесь в правой части варьируются не только связи , но и связи ; в левой же части последние связи заменены фиксированными .

Теорема доказана.

6. Пусть даны два регулярных пучка форм

,                     (91)

и пусть при любом

.

Тогда, очевидно,

   .

Поэтому, обозначая через  и  соответственно характеристические числа пучков (91), будем иметь:

Таким образом, доказана

Теорема 15. Если даны два регулярных пучка форм  и  с характеристическими числами  и  соответственно то из тождественного соотношения

                                               (92)

следует:

                                     (93)

Рассмотрим частный случаи, когда в неравенстве . В этом случае разность  является неотрицательной квадратичной формой и поэтому может быть представлена в виде суммы независимых положительных квадратов:

Тогда при наложении  независимых связей

Формы  и  совпадают, и пучки  и  имеют одни и те же характеристические числа

.

Применяя теорему 14 к каждому из  и , будем иметь:

   .

Присоединяя сюда неравенство (93), приходим к теореме:

Теорема 16. Если  и  -  характеристические числа двух регулярных пучков  и , где

а   - независимые линейные формы, то имеют место неравенства

                      (94)

Совершенно аналогично доказывается

Теорема 17. Если  и  - характеристические числа регулярных пучков форм  и , где форма  получается из  прибавлением  положительных квадратов, то имеют место неравенства

                       (95)

Замечание. В теоремах 16 и 17 можно утверждать, что при некотором  имеем  (соответственно ), если, конечно, .