Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 7. Экстремальные свойства характеристических чисел регулярного пучка форм
1. Пусть даны две квадратичные формы:
причем
форма
Соответствующие
этим характеристическим числам главные векторы по-прежнему будем обозначать
через
Определим
наименьшее значение (минимум) отношения форм
где
Возьмем
на числовой оси
Отбрасывая временно вторую часть неравенства, выясним, когда в первой части имеет место знак равенства. Для этого выделим в (69) группы равных характеристических чисел:
Центр
масс может совпадать с крайней точкой
В
этом случае соответствующее Нами доказана Теорема 10. Наименьшее
характеристическое число регулярного пучка
причем
этот минимум достигается только на векторах, являющихся главными для
характеристического числа 2. Для того чтобы дать аналогичную
«минимальную» характеристику для следующего характеристического числа
Для этих векторов
и, следовательно,
При этом знак равенства достигается
только на тех векторах, ортогональных к Переходя к дальнейшим характеристическим числам, мы в конце концов получим следующую теорему: Теорема 11.
При
любом
при условии, что
варьируемый вектор
При
этом минимум достигается только на тех векторах, которые удовлетворяют условию
(74) и являются одновременно главными векторами для
характеристического числа 3. Характеристика числа Для того чтобы дать характеристику
числа Пусть даны линейные формы от переменных
Мы будем говорить, что на переменные
Сохраняя
обозначения (74’)
для произвольных линейных форм, мы введем специализированные обозначения для
«скалярных обозначений» вектора
Кроме
того, в случае, когда на варьируемый вектор наложены связи (74’’),
будем обозначать
В этих обозначениях равенство (73) запишется так:
Рассмотрим связи
и
Поскольку число
связей (77) и (78) меньше
Но тогда
Это неравенство
в соединении с (76) показывает, что при варьировании связей Нами доказана Теорема 12. Если мы
рассмотрим минимум отношения двух форм
Теорема 12 дает
«максимально-минимальную» характеристику числам 4. Заметим, что
при замене формы Кроме того, обозначая через
в случае, когда
на варьируемый вектор наложены связи
и
Поэтому,
применяя к отношению
Эти
формулы устанавливают соответственно «максимальные» и «минимально-максимальные»
свойства чисел Теорема 13. Пусть характеристическим числам
регулярного
пучка форм 1) Наибольшее
характеристическое число
причем
этот максимум достигается только на главных векторах пучка, соответствующих
характеристическому числу 2)
при
условии, что на варьируемый вектор
т. е.
этот
максимум достигается только на главных векторах пучка, соответствующих
характеристическому числу 3) Если в максимуме
отношения форм
5.
Пусть даны
Тогда из них можно выразить
При наложении связей (86) можно
по-разному выразить все переменные через
и вообще
при
этом в формуле (89) варьируются только связи Имеет место Теорема 14. Если
Доказательство. Неравенства
Отсюда
Вторые части неравенства (90) имеют место в силу соотношений
Здесь
в правой части варьируются не только связи Теорема доказана. 6. Пусть даны два регулярных пучка форм
и пусть при
любом
Тогда, очевидно,
Поэтому,
обозначая через
Таким образом, доказана Теорема 15. Если даны два регулярных пучка форм
следует:
Рассмотрим частный случаи, когда в
неравенстве
Тогда при наложении
Формы
Применяя теорему 14 к каждому из
Присоединяя сюда неравенство (93), приходим к теореме: Теорема 16.
Если
а
Совершенно аналогично доказывается Теорема 17.
Если
Замечание. В
теоремах 16 и 17 можно утверждать, что при некотором
|
1 |
Оглавление
|