§ 8. Малые колебания системы с n степенями свободы
Результаты предыдущих двух параграфов
имеют важные приложения в теории малых колебании механической системы с 
степенями свободы.
Рассмотрим свободные колебания консервативной
механической системы с степенями свободы вблизи ее
устойчивого положения равновесия. Отклонение системы от положения равновесия
будем задавать при помощи независимых обобщенных координат
. Само положение
равновесия при этом соответствует нулевым значениям этих координат 
. Тогда
кинетическая энергия системы представится в виде квадратичной формы
относительно обобщенных скоростей 
.
Разлагая коэффициенты 
в ряд по
степеням ,
и сохраняя (ввиду малости отклонении ) только постоянные члены 
, будем иметь:
(
, 
)
Кинетическая
энергия всегда положительна и обращается в нуль только при нулевых скоростях 
.
Поэтому 
-
положительно определенная форма.
Потенциальная энергия системы является
функцией от координат: 
. Не нарушая общности, можем принять 
. Тогда, разлагая
потенциальную энергию в ряд по степеням , получим:
Поскольку в положении равновесия
потенциальная энергия всегда имеет стационарное значение, то
Сохраняя только члены второго порядка
относительно , мы будем иметь
.
Таким образом, потенциальная энергия 
и кинетическая
энергия 
определяются
двумя квадратичными формами:
, (96)
причем вторая форма - положительно
определенная.
Напишем теперь дифференциальные
уравнения движения в форме уравнений Лагранжа второго рода:
(97)
Подставляя сюда вместо и их выражения из
(96), получаем
(98)
Вводя в
рассмотрение вещественные симметрические матрицы
и 
и столбцевую 
матрицу мы систему
уравнений (98) можем записать в следующей матричной форме:
(98')
Будем
искать решения системы (98) в виде гармонических колебаний
;
в матричной записи
(99)
Здесь 
- постоянный
амплитудный столбец («вектор»), 
- частота и 
- начальная фаза
колебаний.
Подставляя выражение (99) для q в (98'),
получим после сокращения на 
:
.
Но это уравнение совпадает с уравнением
(49). Следовательно, искомый амплитудный вектор является главным вектором, а
квадрат частоты 
-
соответствующим характеристическим числом регулярного пучка форм 
.
Мы наложим на потенциальную энергию
дополнительное ограничение, потребовав, чтобы функция в положении
равновесия имела строгий минимум.
Тогда на основании теоремы Лежен-Дирихле
положение равновесия системы будет устойчивым. С другой стороны, сделанное нами
допущение означает, что квадратичная форма 
также является положительно
определенной.
Согласно теореме 8 регулярный пучок форм
имеет вещественных
характеристических чисел 
и соответствующих этим числам главных
векторов 
[
; 
], удовлетворяющих
условиям
(100)
Из положительной определенности формы 
следует, что все
характеристические числа пучка положительны:
Но тогда существует гармонических колебаний
(
,) (101)
амплитудные векторы которых , удовлетворяют условиям
«ортонормированности» (100).
В силу линейности уравнения (98') произвольное
колебание может быть получено наложением гармонических колебаний (101):
(102)
где
,
- произвольные
постоянные. Действительно, при любых значениях этих постоянных выражение (102)
является решением уравнения (98'). С другой стороны, за счет произвольных
постоянных можно удовлетворить любым начальным условиям:
, 
.
В
самом деле, из (102) находим:
, 
(103)
Поскольку главные столбцы всегда линейно
независимы, то из равенств (103) однозначно определяются величины 
и 
, следовательно,
произвольные постоянные и .
Решение (102) нашей системы
дифференциальных уравнений (98) может быть более подробно записано так:
(104)
Заметим, что к тем же формулам (102),
(104) можно прийти, исходя из теоремы 9. Действительно, рассмотрим неособенное
преобразование переменных с матрицей 
, приводящее одновременно обе формы и 
к каноническому
виду (63). Полагая
(105)
или в
сокращенной записи
(106)
и замечая, что 
,
будем иметь:
, 
(107)
Координаты 
, в которых потенциальная и
кинетическая энергии представляются в виде (107), называются нормальными
координатами.
Воспользуемся уравнениями Лагранжа
второго рода (98), подставив в них вместо и их выражения (107). Получим:
(108)
Поскольку форма
- положительно определенная, то все числа положительны и
могут быть представлены в виде
(
,) (109)
Из (107) и (108)
находим:
(110)
Подставляя эти выражения для 
в равенства (105),
получим снова формулы (104) и, следовательно, (102). Величины 
при обоих выводах будут одни и те же,
поскольку согласно теореме 9 матрица в (106) есть главная матрица
регулярного пучка форм .
Отметим
еще механическую интерпретацию теорем 14 и 15.
Занумеруем частоты 
данной механической системы
в порядке неубывания:
Этим определится и расположение
соответствующих характеристических чисел пучка :
Наложим на данную систему 
независимых конечных
стационарных связей. Поскольку отклонения считаются малыми величинами, то эти связи можно
считать линейными относительно :
После наложения связей наша система
будет иметь 
степеней
свободы. Частоты этой системы
связанны
с характеристическими числами 
пучка при наложении связей 
соотношениями 
. Поэтому из теоремы 14 непосредственно
следует:
.
Таким
образом, при наложении связей частоты системы могут только
увеличиться, однако при этом величина новой 
-й частоты 
не может превзойти величины прежней 
-й частоты 
.
Точно
так же на основании теоремы 15 можно утверждать, что при увеличении жесткости
системы, т.е. при увеличении формы для потенциальной энергии (без изменения
формы 
), частоты
могут только увеличиться, а при увеличении инерции системы, т.е при увеличении
формы 
для
кинетической энергии (без изменения формы ), частоты могут только уменьшиться.
Теоремы 16 и 17 вносят дополнительное
уточнение в это положение.
