Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 3. Инвариантные многочлены и элементарные делители многочленной матрицы
1.
Введем понятие об инвариантных многочленах Пусть
многочленная матрица
каждый
многочлен делится без остатка на последующий. Соответствующие частные обозначим
через
Определение
4. Многочлены Термин
«инвариантные многочлены» связан со следующими соображениями. Пусть
Отсюда
следует, что все миноры порядка
Кроме
того, из этой же формулы вытекает, что
Поскольку
элементарные операции не меняют многочленов Таким
образом, многочлены Если многочленная матрица имеет канонический диагональный вид (9), то, как нетрудно видеть, для этой матрицы
Но
тогда в силу соотношений (10) диагональные многочлены в (9)
Здесь
Полученные результаты мы можем сформулировать в виде следующей теоремы. Теорема
3. Многоценная прямоугольная матрица
При
этом здесь обязательно Следствие
1. Для того чтобы две прямоугольные матрицы одинаковых размеров Действительно, необходимость этого условия была выяснена выше. Достаточность следует из того, что две многочленные матрицы, имеющие одни и те же инвариантные многочлены, эквивалентны одной и той же канонической диагональной матрице и, следовательно, эквивалентны между собой. Таким
образом, инвариантные многочлены образуют полную систему инвариантов Следствие 2. В ряду инвариантных многочленов
каждый многочлен, начиная со второго, является делителем предыдущего. Это
утверждение не вытекает непосредственно из формул (13). Оно следует из того,
что многочлены 2.
Укажем методы вычисления инвариантных многочленов для квазидиагональных Теорема 4. Если в квазидиагональной прямоугольной матрице
любой
инвариантный многочлен матрицы Доказательство.
Обозначим через
и, следовательно,
Для
того чтобы в общем случае при произвольных инвариантных многочленах матриц Разложим
инвариантные многочлены
Здесь
Определение
5. Все отличные от единицы степени среди Теорема 5. Совокупность элементарных делителей прямоугольной квазидиагональной матрицы
всегда
получается объединением элементарных делителей матрицы Доказательство.
Разложим инвариантные многочлены матриц
Обозначим через
все
отличные от нуля числа среди Тогда
матрица
где
через
Отсюда
следует, что
являются
элементарными делителями матрицы Аналогично
определяются элементарные делители матрицы Примечание.
Совершенно аналогично предыдущему можно построить теорию эквивалентности для
целочисленных матриц (т. е. матриц, у которых элементы – целые числа). При этом
в 1, 2 (см. стр. 135) 3.
Пусть дана теперь матрица
Характеристическая
матрица является
называются
инвариантными многочленами матрицы Теорема 3 дает другой способ вычисления инвариантных многочленов, основанный на приведении характеристической матрицы (18) при помощи элементарных операций к каноническому диагональному виду. Пример.
В
характеристической матрице
Теперь,
прибавляя к первым трем столбцам четвертый, предварительно помноженный
соответственно на
К
первому столбцу прибавляем второй, помноженный на
Прибавим
ко второй и четвертой строкам первую, помноженную соответственно на
Прибавим
к четвертой строке вторую, затем умножим первую и третью строки на
Матрица
|
1 |
Оглавление
|