§ 7. Извлечение корня m-й степени из особенной матрицы

Переходим к разбору случая, когда  ( – особенная матрица).

Как и в первом случае, приведем матрицу  к нормальной жордановой форме:

;                (65)

здесь мы через  обозначили элементарные делители матрицы , отвечающие ненулевым характеристическим числам, а через  – элементарные делители с нулевыми характеристическими числами.

Тогда

,                 (66)

где

.               (67)

Заметим, что  – неособенная матрица , а  – нильпотентная матрица с индексом нильпотентности  .

Из исходного уравнения (54) следует перестановочность матрицы  с искомой матрицей , а следовательно, и перестановочность подобных им матриц

 и .                  (68)

Как было доказано в § 2 (теорема 3), из перестановочности матриц (68) и из того факта, что матрицы  и  не имеют общих характеристических чисел, вытекает, что и вторая из матриц (68) имеет соответственную квазидиагональную форму

.              (69)

Заменяя в уравнении (54) матрицы  и  подобными им матрицами

 и ,

мы заменим уравнение (54) двумя уравнениями:

,                    (70)

.                   (71)

Так как , то к уравнению (70) применимы результаты предыдущего параграфа. Поэтому  находим по формуле (62):

.                  (72)

Таким образом, остается рассмотреть уравнение (71), т. е. заняться нахождением всех корней -й степени из нильпотентной матрицы , уже имеющей нормальную жорданову форму:

.                        (73)

 – индекс нильпотентности матрицы . Из  и из (71) находим:

.

Последнее равенство показывает, что искомая матрица  также является нильпотентной с индексом нильпотентности , где . Приведем матрицу  к жордановой форме:

.                  (74)

Возведем теперь обе части последнего равенства в -ю степень. Получим:

.                    (75)

Выясним теперь, какие элементарные делители имеет матрица . Обозначим через  линейный оператор, задаваемый матрицей  в -мерном векторном пространстве с базисом . Тогда из вида матрицы  (в матрице  все элементы первой наддиагонали равны единице и все остальные элементы равны нулю) следует, что

.                  (76)

Эти равенства показывают, что для оператора  векторы  образуют жорданову цепочку векторов, соответствующую элементарному делителю .

Равенства (76) запишем так:

.

Очевидно, что

.                   (77)

Представим число  в виде

,

где  – целые неотрицательные числа. Расположим базисные векторы  следующим образом:

,             (78)

В этой таблице мы имеем  столбцов: первые  содержат по  векторов в каждом, остальные – по  векторов. Равенство (78) показывает, что векторы каждого столбца образуют жорданову цепочку векторов относительно оператора . Если вместо последовательной нумерации векторов (78) по строкам занумеровать их по столбцам, то в полученном таким образом новом базисе матрица оператора  будет иметь следующую нормальную жорданову форму:

,

и следовательно,

,                   (79)

где матрица  (матрица перехода от одного базиса к другому) имеет вид (см. гл. III, § 4)

.             (80)

Матрица  имеет один элементарный делитель . При возведении матрицы  в -ю степень этот элементарный делитель «расщепляется». Как показывает формула (79), матрица  имеет элементарные делители:

.

Возвращаясь теперь к равенству (75), положим:

.              (81)

Тогда в силу (79) равенство (75) перепишется так:

,  (82)

где .

Сопоставляя (82) с (73), видим, что клетки

                   (83)

с точностью до порядка должны совпасть с клетками

.                        (84)

Условимся систему элементарных делителей  называть возможной для , если после возведения матрицы в -ю степень эти элементарные делители, расщепляясь, порождают заданную систему элементарных делителей матрицы . Число возможных систем элементарных делителей всегда конечно, поскольку

            (85)

( – степень матрицы ).

В каждом конкретном случае возможные системы элементарных делителей для  могут быть легко определены путем конечного числа испытаний.

Покажем, что для каждой возможной системы элементарных делителей  существуют соответствующие решения уравнения (71), и определим все эти решения. В этом случае существует преобразующая матрица  такая, что

.                      (86)

Матрица  осуществляет перестановку клеток в квазидиагональной матрице, что достигается надлежащей перенумерацией базисных векторов. Поэтому матрицу  можно считать известной. Используя (86), мы из (82) получим:

.

Отсюда

или

,             (87)

где  – произвольная матрица, перестановочная с .

Подставляя выражение (87) для  в (74), будем иметь:

.                     (88)

Из (69), (72) и (88) получим общую формулу, охватывающую все искомые решения:

.  (89)

Обратим внимание читателя на то, что корень -й степени из особенной матрицы не всегда существует. Его существование связано с существованием системы возможных элементарных делителей для матрицы .

Легко видеть, например, что уравнение

не имеет решений при .

Пример. Требуется извлечь корень квадратный из матрицы

,

т. е. найти все решения уравнения

.

B данном случае . Матрица  может иметь только один элементарный делитель . Поэтому  [см. (80)]

.

Кроме того, как и в примере на стр. 214, можно положить в формуле (88):

.

Из этой формулы получим:

,

где  и  – произвольные параметры.