§ 2. Метризация пространства
Рассмотрим
векторное пространство
над полем комплексных чисел. Пусть
каждым двум векторам
и
из
, заданным в определенном порядке,
отнесено некоторое комплексное число, называемое скалярным произведением этих
векторов и обозначаемое через
или
. Пусть при этом имеют место следующие
свойства «скалярного умножения».
Для
любых векторов
из
любого
комплексного числа
(1)
В
этом случае говорят, что в пространство
внесена эрмитова метрика.
Заметим
еще, что из 1, 2 и 3 следует для любых
из
:
2'.
,
3'.
.
Из
1 заключаем, что для любого вектора
скалярное произведение
является
вещественным числом.
Если
для любого вектора
из
4.
, (2)
то
эрмитова метрика называется неотрицательной. Если же при этом
5.
при
, (3)
то
эрмитова метрика называется положительно определенной.
Определение
1. Векторное пространство
с положительно определенной эрмитовой
метрикой мы будем называть унитарным пространством.
В
настоящей главе мы будем рассматривать конечномерные унитарные пространства.
Под
длиной вектора
понимают
. Из 2 и
5 следует, что каждый вектор, отличный от нуля, имеет положительную длину и
лишь вектор-нуль имеет длину, равную нулю. Вектор
называется нормированным (также
единичными вектором или ортом), если
. Для нормировки произвольного вектора
достаточно
умножить этот вектор на любое комплексное число
, у которого
.
По
аналогии с обычным трехмерным векторным пространством два вектора
и
называются
ортогональными (обозначение:
), если
. В этом случае из 1, 3, 3' следует:
,
т.
е. (теорема Пифагора!)
.
Пусть
унитарное пространство
имеет конечное число измерений
. Рассмотрим в
произвольный базис
.
Обозначим через
и
соответственно
координаты векторов
и
в этом базисе:
.
Тогда
в силу 2, 3, 2' и 3'
, (4)
где
. (5)
В
частности,
. (6)
Из
1 и (5) следует
. (7)
Форма
, где
, называется эрмитовой.
Таким образом, квадрат длины вектора представляется в виде эрмитовой формы его
координат. Отсюда и название эрмитова метрика. Форма, стоящая в правой части
равенства (6), является в силу 4 неотрицательной
, (8)
при
всех значениях переменных
. В силу же дополнительного условия 5
эта форма будет положительно определенной, т. е. знак = в (8) будет иметь место
только при равенстве нулю всех
.
Определение
2. Систему векторов
будем называть ортонормированной,
если
. (9)
При
, где
– число измерений
пространства, получаем ортонормированный базис пространства.
В
§ 7 будет доказано, что с каждом
-мерном унитарном пространстве
существует ортонормированный базис.
Пусть
и
– соответственно
координаты векторов
и
в ортонормированном базисе. Тогда в
силу (4), (5) и (9)
(10)
Фиксируем
произвольно некоторый базис в
-мерном пространстве
. При этом базисе
каждая метризация пространства связана с некоторой положительно определенной
эрмитовой формой
,
и наоборот, согласно (4) каждая такая форма определяет некоторую положительно
определенную эрмитову метрику в
. Однако все эти метрики не дают
существенно различных унитарных
-мерных пространств. Действительно,
возьмем две такие метрики со скалярным произведением соответственно
и
. По отношению к
этим метрикам определим ортонормированные базисы в
и
. Отнесем друг другу векторы
и
из
, имеющие в этих
базисах одинаковые координаты. Это соответствие является аффинным. Кроме того,
в силу (10)
.
Таким
образом, с точностью до аффинного преобразования пространства все положительно
определенные эрмитовы метризации
-мерного векторного пространства
совпадают друг с другом.
Если
основным числовым полем
является поле вещественных чисел, то
метрика, удовлетворяющая постулатам 1, 2, 3, 4 и 5, называется евклидовой.
Определение
3. Векторное, пространство
над полем вещественных чисел с положительно
евклидовой метрикой называется евклидовым пространством.
Если
и
суть координаты
векторов
и
в
некотором базисе
-мерного евклидова
пространства, то
.
Здесь
– вещественные
числа. Выражение
называется
квадратичной формой относительно
. Из положительной определенности
метрики вытекает, что квадратичная форма
, задающая аналитически эту метрику,
является положительно определенной, т. е.
, если
.
При
ортонормированном базисе
. (11)
При
получаем
известные формулы для скалярного произведения двух векторов и для квадрата
длины вектора в трехмерном евклидовом пространстве.