§ 15. Область устойчивости. Параметры Маркова
Каждому
вещественному многочлену
-й степени можно отнести точку
-мерного
пространства, координаты которой равны частным от деления на старший
коэффициент всех остальных коэффициентов. В таком пространстве коэффициентов
все многочлены Гурвица образуют некоторую
-мерную область, которая определяется
неравенствами Гурвица
или, например, неравенствами Льенара-Шипара
. Эту
область будем называть областью устойчивости. Если коэффициенты уравнения
заданы как функции
параметров, то область устойчивости
строится в пространстве этих параметров.
Исследование
области устойчивости представляет большой практический интерес; так, например,
такое исследование существенно при проектировании новых систем регулирования.
В
§ 16 мы покажем, что две замечательные теоремы, установленные А. А. Марковым и
П. Л. Чебышевым в связи с разложением непрерывных дробей в степенные ряды по
отрицательным степеням аргумента, имеют тесное отношение к исследованию области
устойчивости. При формулировке и доказательстве этих теорем нам удобно будет
задавать многочлен не его коэффициентами, а специальными параметрами, которые
мы назовем параметрами Маркова.
Пусть
дан вещественный многочлен
.
Представим
его в виде
.
Примем,
что многочлены
и
взаимно
просты
.
Несократимую рациональную дробь
разложим
в ряд по убывающим степеням
:
(104)
Если
нечетно,
то для получения этой формулы необходимо добавочно предположить, что
(в противном случае
).
Последовательность
чисел
определяет
бесконечную ганкелеву матрицу
. Определим рациональную функцию
равенством
. (105)
Тогда
, (106)
и
потому имеет место соответствие (см. стр. 498)
. (107)
Отсюда
следует, что матрица
имеет ранг
, поскольку
– степень
многочлена
и,
следовательно, число полюсов функции
.
При
(в этом
случае
)
задание матрицы
однозначно
определяет несократимую дробь и, следовательно, с точностью до постоянного
множителя однозначно определяет
. При
для задания
, помимо матрицы
, необходимо еще знать
коэффициент
.
С
другой стороны, для задания бесконечной ганкелевой матрицы
-го ранга
достаточно задать
лишь первые
чисел
. Числа
могут быть
выбраны произвольно при одном лишь ограничении
; (108)
все
последующие коэффициенты разложения (104)
однозначно (и даже рационально)
выражаются через первые
. Действительно, у бесконечной
ганкелевой матрицы
-го ранга
элементы связаны между
собой рекуррентными соотношениями (см. теорему 7 на стр. 496)
. (109)
Если
числа
удовлетворяют
неравенству (108), то после задания этих чисел из первых
соотношений (109)
однозначно определяются коэффициенты
; тогда последующие соотношения (109)
определяют
.
Таким
образом, вещественный многочлен
степени
при
может быть однозначно
задан при помощи
чисел
, удовлетворяющих неравенству (108).
При
к
этим числам следует прибавить еще
.
величин
(при
) или
(при
) мы будем
называть параметрами Маркова для многочлена
. В
-мерном пространстве эти параметры
могут быть рассматриваемы как координаты точки, изображающей данный многочлен
.
Выясним,
какие условия должны быть наложены на параметры Маркова для того, чтобы
соответствующий многочлен
был многочленом Гурвица. Этим самым
мы определим область устойчивости в пространстве параметров Маркова.
Многочлен
Гурвица характеризуется условиями (94) и дополнительным условием (95) при
. Вводя функцию
[см. (105)], мы
равенства (94) запишем так:
. (110)
Дополнительное
же условие (95) для
дает:
.
Введем
наряду с матрицей
бесконечную ганкелеву матрицу
. Тогда поскольку
из (106)
,
то
имеет место соответствие
. (111)
Матрица
, как и
матрица
,
имеет конечный ранг
, так как функция
, как и
, имеет
полюсов. Поэтому и формы
имеют
ранг
.
Но согласно теореме 9 (стр. 500) сигнатуры этих форм в силу соответствий (107),
(111) равны индексам (110) и, следовательно, также равны
. Таким образом, условия
(110) означают положительную определенность квадратичных форм
и
. Нами установлена
Теорема
17. Для того чтобы вещественный многочлен
степени
или
был многочленом Гурвица,
необходимо и достаточно, чтобы
1.
квадратичные формы
(112)
были
положительно определенными и
2.
(при
)
. (113)
Здесь
–
коэффициенты в разложении
.
Введем
обозначения для определителей:
. (114)
Тогда
условие 1. эквивалентно системе детерминантных неравенств
(115)
В
случае
неравенства
(115) определяют область устойчивости в пространстве параметров Маркова. При
к этим
неравенствам следует прибавить еще одно:
. (116)
В
следующем параграфе мы выясним, какие свойства матрицы
вытекают из неравенств
(115) и тем самым выделим специальный класс бесконечных ганкелевых матриц
, которые
соответствуют многочленам Гурвица.