§ 5. Минимальные индексы пучка

Критерий строгой эквивалентности пучков

Пусть дан произвольный сингулярный пучок прямоугольных матриц . Тогда  многочленных столбцов , являющихся решениями уравнения

,                                                    (31)

будут линейно зависимыми, если ранг многочленной матрицы, составленной из этих столбцов,  меньше . В этом случае существует  многочленов , не равных одновременно тождественно нулю, таких, что

.

Если же ранг матрицы  равен , то подобной зависимости не существует, и решения  линейно независимы.

Среди всех решений уравнения (31) возьмем ненулевое решение  наименьшей степени . Среди всех решении того же уравнения, линейно независимых от , выберем решение  наименьшей степени . Очевидно, что . Этот процесс продолжим, выбирая среди решений, линейно независимых от  и , решение  минимальной степени  и т. д. Так как число линейно независимых решений уравнения (31) всегда , то этот процесс должен закончиться. Мы получим фундаментальный ряд решений уравнения (31)

                                       (32)

со степенями

                                                   (33)

В общем случае фундаментальный ряд решений не определяется однозначно (с точностью до скалярных множителей) заданием пучка .

Однако два различных фундаментальных ряда решений имеют всегда один и тот же ряд степеней . Действительно, рассмотрим наряду с (32) второй фундаментальный ряд решений  со степенями . Пусть среди степеней (33)

и аналогично в ряду

Очевидно, что . Любой столбец   есть линейная комбинация столбцов , так как в противном случае в ряду (32) можно было бы решение  заменить решением  с меньшей степенью. Очевидно, что и наоборот, любой столбец   является линейной комбинацией столбцов . Поэтому  и . Теперь аналогичными рассуждениями убеждаемся в том, что  и  и т. д.

Каждое решение  фундаментального ряда (32) дает линейную зависимость степени  между столбцами матрицы  . Поэтому числа  называются минимальными индексами для столбцов пучка .

Аналогично вводятся минимальные индексы , для строк пучка . При этом уравнение  заменяется уравнением  и числа  определяются как минимальные индексы для столбцов транспонированного пучка .

Строго эквивалентные пучки имеют одни и те же минимальные индексы. Действительно, пусть даны два таких пучка:  и  ( и  - квадратные неособенные матрицы). Тогда уравнение (30) для первого пучка после почленного умножения слева на  может быть записано так:

Отсюда видно, что все решения уравнения (30) после умножения слева на  дают полную систему решений уравнения

Поэтому пучки  и имеют одни и те же минимальные индексы для столбцов. Совпадение минимальных индексов для строк устанавливается переходом к транспонированным пучкам.

Вычислим минимальные индексы для канонической квазидиагональной матрицы

    (34)

[ - регулярный пучок, имеющий нормальную форму (6)].

Заметим предварительно, что полная система минимальных индексов для столбцов (строк) квазидиагональной матрицы получается соединениям из соответствующих систем минимальных индексов отдельных диагональных блоков. Матрица  имеет только один индекс е для столбцов, а строки этой матрицы линейно независимы. Точно так же матрица  имеет только один индекс  для строк, а столбцы этой матрицы линейно независимы. Регулярный пучок  совсем не имеет минимальных индексов.

Поэтому матрица (34) имеет минимальные индексы для столбцов

,

а для строк

,

Заметим еще, что матрица  не имеет элементарных делителей, так как среди ее миноров максимального порядка е имеется минор, равный единице, и минор, равный . Это же положение, разумеется, верно и для транспонированной матрицы . Так как элементарные делители квазидиагональной матрицы получаются путем соединения элементарных делителей отдельных диагональных блоков (см. гл. VI, стр. 146), то элементарные делители -матрицы (34) совпадают с элементарными делителями ее регулярного «ядра» .

Каноническая форма пучка (34) вполне определяется заданием минимальных индексов ,  и элементарных делителей этого пучка или (что то же) строго эквивалентного ему пучка . Так как два пучка, имеющих одну и ту же каноническую форму, строго эквивалентны между собой, то мы доказали следующую теорему:

Теорема 5 (Кронекера). Для того чтобы два произвольных пучка прямоугольных матриц  и  одних и тех же размеров  были строго эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы эти пучки имели одни и те же минимальные индексы и одни и те же («конечные» и «бесконечные») элементарные делители.

В заключение для наглядности выпишем каноническую форму пучка , имеющего минимальные индексы , , , , ,  и элементарные делители , , :

     (35)

Все неотмеченные элементы этой матрицы равны нулю.