§ 2. Расщепление на инвариантные подпространства с взаимно простыми минимальными многочленами
Подпространство
называется
инвариантным относительно данного оператора
, если
, т. е. из
следует
. Другими словами, оператор
переводит векторы
инвариантного подпространства снова в векторы этого же подпространства.
В
дальнейшем мы будем производить расщепление всего пространства (см. гл. III, § 1)
на инвариантные относительно
подпространства. Такое расщепление
сводит изучение поведения оператора во всем пространстве к изучению его
поведения в отдельных составляющих подпространствах.
Докажем
теперь следующую теорему:
Теорема
1 (1-я теорема о расщеплении пространства на инвариантные подпространства).
Если для данного линейного оператора
минимальный многочлен пространства
представляется в
поле
в
виде произведения двух взаимно простых многочленов
и
(со старшими коэффициентам,
равными единице),
, (8)
то
все пространство
расщепляется
на два инвариантных подпространства
и
,
, (9)
для
которых минимальными многочленами служат соответственно множители
и
.
Доказательство.
Обозначим через
совокупность
всех векторов
,
удовлетворяющих уравнению
. Аналогично определим
с помощью
уравнения
.
Определенные таким образом
и
суть подпространства в
.
Из
взаимной простоты
и
вытекает существование таких
многочленов
и
(с
коэффициентами из
), что имеет место тождество
. (10)
Пусть
теперь
–
произвольный вектор из
. Заменим в (10)
на
и применим обе части
полученного операторного равенства к вектору
:
, (11)
т.
е.
, (12)
где
,
. (13)
Далее,
,
,
т.
е.
и
.
и
не имеют
общих векторов, отличных от нуля. Действительно, если
и
, т. е.
и
, то в силу (11)
.
Таким
образом, доказано, что
.
Пусть,
далее,
. Тогда
.
Помножая обе части этого равенства слева на
и переставляя местами
и
, получим
, т. е.
. Этим доказано,
что подпространство
инвариантно относительно
. Аналогично
доказывается инвариантность подпространства
.
Докажем
теперь, что
есть
минимальный многочлен для
. Пусть
– произвольный аннулирующий многочлен
для
, а
– произвольный
вектор из
.
Используя уже установленное разложение (12), напишем:
.
Поскольку
–
произвольный вектор из
, то отсюда вытекает, что произведение
есть
аннулирующий многочлен для
и потому делится без остатка на
; другими словами,
делится
на
. Но
– произвольный
аннулирующий многочлен для
, a
– один из аннулирующих многочленов (в
силу определения
).
Значит,
есть
минимальный многочлен для
. Совершенно аналогично доказывается,
что
есть
минимальный многочлен для инвариантного подпространства
.
Теорема
доказана полностью.
Разложим
многочлен
на
неприводимые в поле
множители:
(14)
(здесь
–
различные неприводимые в
многочлены со старшими коэффициентами
1). Тогда на основании доказанной теоремы
, (15)
где
–
инвариантное подпространство с минимальным многочленом
.
Таким
образом, доказанная теорема сводит изучение поведения линейного оператора в
произвольном пространстве к изучению поведения этого оператора в пространстве,
где минимальный многочлен есть степень неприводимого в
многочлена. Это
обстоятельство будет нами использовано для доказательства следующего важного
для нас предложения: Теорема 2. В пространстве всегда существует вектор,
минимальный многочлен которого совпадает с минимальным многочленом всего
пространства.
Доказательство.
Рассмотрим сначала тот частный случай, когда минимальный многочлен пространства
есть
степень неприводимого в
многочлена
:
.
Выберем
в
базис
. Минимальный
многочлен вектора
является делителем многочлена
и поэтому
представляется в виде
, где
.
Но
минимальный многочлен пространства есть наименьшее общее кратное минимальных
многочленов базисных векторов, т. е.
совпадает с наибольшей из степеней
. Другими словами,
совпадает с минимальным
многочленом одного из базисных векторов
.
Переходя
к общему случаю, докажем предварительно следующую лемму:
Лемма.
Если минимальные многочлены векторов
и
взаимно просты, то минимальный
многочлен суммы векторов
равен произведению минимальных
многочленов слагаемых векторов.
Доказательство.
В самом деле, пусть
и
– минимальные многочлены векторов
и
. По условию
и
взаимно просты.
Пусть
–
произвольный аннулирующий многочлен для вектора
. Тогда
,
т.
е.
есть
аннулирующий многочлен для
. Следовательно,
делится без остатка на
, и так как
и
взаимно просты, то
делится
на
.
Аналогично доказывается, что
делится на
. Но
и
взаимно просты.
Следовательно,
делится
на произведение
.
Итак, произвольный аннулирующий многочлен вектора
делится на аннулирующий многочлен
. Поэтому
и будет
минимальным многочленом вектора
.
Вернемся
к теореме 2. Для доказательства в общем случае используем расщепление (15). Так
как минимальные многочлены подпространств
суть степени неприводимого
многочлена, то для этих подпространств наше предложение уже доказано. Поэтому
существуют такие векторы
, минимальными многочленами которых
будут соответственно
. В силу леммы минимальный многочлен
вектора
равен
произведению
,
т. е. равен минимальному многочлену пространства
.