§ 14. Некоторые свойства многочлена Гурвица. Теорема Стильтьеса. Представление многочленов Гурвица при помощи непрерывных дробей

1. Пусть дан вещественный многочлен

Представим в виде

Выясним, какие условия должны быть наложены на многочлены и для того, чтобы многочлен был многочленом Гурвица.

Полагая в формуле (20) (стр. 475) , мы получим необходимое и достаточное условие для того, чтобы был многочленом Гурвица в виде равенства

где, как и в предыдущих параграфах,

Пусть . Согласно формуле (73') (стр. 506) это условие может быть записано так:

. (86)

Так как абсолютная величина индекса рациональной дроби не может превосходить степени знаменателя (в данном случае ), то равенство (86) может иметь место тогда и только тогда, когда одновременно

. (87)

При равенство (73") (поскольку ) дает:

Заменяя здесь дроби, стоящие под знаком индекса, их обратными величинами (см. 5. на стр. 505) и замечая при этом, что и имеют одну и ту же -ю степень, получаем:

. (88)

Исходя снова из того, что абсолютная величина индекса дроби не может превосходить степени знаменателя, заключаем, что равенство (88) имеет место тогда и только тогда, когда одновременно

. (89)

Если , то первое из равенств (87) означает, что многочлен имеет различных вещественных корней и что правильная дробь представима в виде

, (90)

где

. (90')

Из этого представления дроби следует, что между любыми двумя корнями многочлена лежит вещественный корень многочлена и что старшие коэффициенты многочленов и имеют одинаковые знаки, т. е.

Второе из равенств (87) вносит лишь одно дополнительное условие

Согласно этому условию все корни и должны быть отрицательными. Если , то из первого равенства (89) следует, что имеет различных вещественных корней и

, (91)

где

. (91')

Из третьего равенства (89) вытекает, что

, (92)

т. е. что старшие коэффициенты и имеют одинаковые знаки. Кроме того, из (91), (91') и (92) следует, что имеет вещественных корней , лежащих внутри интервалов . Другими словами,

Второе из равенств (89), как и при , вносит лишь одно дополнительное неравенство

Определение 3. Мы будем говорить, что два многочлена и -й степени [или первый -й, а второй – -й степени] образуют положительную пару, если корни этих многочленов и (соответственно ) все различны, вещественны, отрицательны и перемежаются следующим образом:

(соответственно ),

а старшие коэффициенты этих многочленов имеют одинаковые знаки.

Вводя положительные числа , и помножая оба многочлена и , образующих положительную пару, на так, чтобы старшие коэффициенты этих многочленов стали положительными, мы эти многочлены сможем представить в виде

, (93)

где

если оба многочлена и имеют степень , и в виде

, (93')

где

если имеет степень , a – степень .

Приведенные ранее рассуждения доказывают следующие две теоремы:

Теорема 13. Для того чтобы многочлен был многочленом Гурвица, необходимо и достаточно, чтобы многочлены и составляли положительную пару.

Теорема 14. Для того чтобы два многочлена и , из которых первый имеет степень , а второй имеет степень или , составляли положительную пару, необходимо и достаточно, чтобы имели место равенства

(94)

и в случае, когда степени и одинаковы, дополнительное условие

. (95)

2. Из последней теоремы, используя свойства индексов Коши, мы легко получим теорему Стильтьеса о представлении дроби в виде непрерывной дроби специального типа в случае, когда многочлены и образуют положительную пару многочленов.

Доказательство теоремы Стильтьеса опирается на следующую лемму:

Лемма. Если многочлены [степень равна ] составляют положительную пару и

, (96)

где – постоянные, a – многочлены степени , то

1. ,

2. многочлены имеют степень ,

3. многочлены составляют положительную пару.

Задание и однозначно определяет многочлены (с точностью до общего постоянного множителя) и постоянные и .

Обратно, из (96) и 1., 2., 3. следует, что многочлены и образуют положительную пару, причем имеет степень , a – степень или в зависимости от того, или .

Доказательство. Пусть – положительная пара. Тогда из (94) и (96) следует:

. (97)

Из этого равенства следует, что степень равна и что .

Далее из (97) находим:

Отсюда следует, что и что

. (98)

Теперь второе равенство (94) дает:

(99)

Отсюда следует, что имеет степень .

Условие (95) в силу (96) дает: . Если же степень меньше степени , то из (96) вытекает: .

Из (98) и (99) следует:

, (100)

где

Так как второй из индексов (100) по абсолютной величине , то

, (101)

а тогда из (100) и (101) на основании теоремы 12 заключаем, что многочлены и образуют положительную пару.

Из (96) следует:

После того как и определены, из (96) определяется отношение .

Соотношения (97), (98), (99), (100), (101), использованные в обратном порядке, устанавливают вторую часть леммы. Таким образом, лемма доказана полностью.

Пусть нам дана положительная пара многочленов и есть степень многочлена . Тогда, разделив на и обозначив частное через , а остаток через , получим:

можно представить в виде , где степень , как и степень , меньше . Отсюда

. (102)

Таким образом, для положительной пары и всегда имеет место представление (96). Согласно лемме

а многочлены и имеют степень и образуют положительную пару.

Применяя эти же рассуждения к положительной паре , получим равенство

, (102')

где

а многочлены и имеют степень и образуют положительную пару. Продолжая этот процесс далее, мы в конце концов придем к положительной паре и , где и – постоянные одного знака. Мы положим:

. (102(m))

Тогда из (102), (102') (102(m)) вытекает:

Пользуясь второй частью леммы, мы аналогично покажем, что при любых , написанная непрерывная дробь однозначно (с точностью до общего постоянного множителя) всегда определяет положительную пару многочленов и , причем имеет степень , a имеет степень при и степень при .

Таким образом, нами доказана

Теорема 15 (Стильтьеса). Если – положительная пара многочленов и имеет степень , то

(103)

где

При этом , если имеет, степень , и , если имеет степень . Постоянные однозначно определяются заданием .

Обратно, при любом и любых положительных непрерывная дробь (103) определяет положительную пару многочленов , где имеет степень .

Из теоремы 13 и теоремы Стильтьеса следует:

Теорема 16. Вещественный многочлен -й степени в том и только в том случае является многочленом Гурвица, если имеет место формула (103) при неотрицательном и положительных . При этом , когда нечетно, и , когда четно.