§ 8. Логарифм матрицы
1.
Рассмотрим матричное уравнение
. (90)
Все
решения этого уравнения будем называть логарифмами (натуральными) матрицы 
и обозначать через 
.
Характеристические
числа 
матрицы связаны с характеристическими
числами 
матрицы 
формулой 
; поэтому, если уравнение (90)
имеет решение, то все характеристические числа матрицы отличны от нуля и матрица является неособенной 
. Таким образом, условие 
является необходимым для существования
решения уравнения (90). Ниже мы увидим, что это условие является и достаточным.
Итак,
пусть . Выпишем элементарные делители
матрицы :
. (91)
В
соответствии с этими элементарными делителями приведем матрицу к нормальной жордановой форме:
. (92)
Так
как производная от функции 
отлична от нуля при всех
значениях 
, то (см. гл. VI, стр. 159) при
переходе от матрицы к матрице 
элементарные делители не
расщепляются, т. е. матрица имеет элементарные делители
, (93)
где
, т. е. есть одно из значений 
.
Возьмем
в плоскости комплексного переменного 
круг с центром в точке радиуса 
и обозначим через 
ту из ветвей функции 
в рассматриваемом круге, которая
в точке принимает значение, равное
характеристическому числу матрицы . После этого полагаем:
. (94)
Так
как производная от нигде не обращается в нуль (в
конечной части плоскости ), то матрица (94) имеет только
один элементарный делитель 
. В силу этого квазидиагональная
матрица
(95)
имеет
те же элементарные делители, что и искомая матрица . Поэтому существует такая
матрица 
, что
. (96)
Для
определения матрицы 
заметим, что
. (97)
Сопоставляя
(97) с (92), находим:
, (98)
где
– произвольная матрица,
перестановочная с матрицей 
. Подставляя выражение для из (98) в (96), получим общую
формулу, охватывающую все логарифмы матрицы:
. (99)
Замечание.
Если все элементарные делители матрицы взаимно
просты, то в правой части формулы (99) можно выбросить множители и 
(см. аналогичное замечание на
стр. 213).
2.
Выясним, когда вещественная неособенная матрица имеет вещественный логарифм . Пусть искомая матрица имеет
несколько элементарных делителей, отвечающих характеристическому числу вида 
. Поскольку матрица вещественна, то она имеет и
сопряженные элементарные делители: 
. При переходе от матрицы к матрице элементарные делители не
расщепляются, но характеристические числа 
заменяются
в них числами 
, где 
. Поэтому в системе элементарных
делителей матрицы каждый элементарный делитель,
соответствующий отрицательному характеристическому числу (если таковые
существуют), повторяется четное число раз. Докажем теперь, что это необходимое
условие является и достаточным, т. е. что вещественная неособенная матрица тогда и только тогда имеет
вещественный логарифм , когда у матрицы либо совсем нет элементарных
делителей, соответствующих отрицательным характеристическим числам, либо каждый
такой элементарный делитель повторяется четное число раз.
Действительно,
пусть это условие выполнено. Тогда в квазидиагональной матрице (95) в
соответствии с формулой (94) в тех клетках, где 
вещественно и положительно,
возьмем для 
вещественное значение; если же в
какой-либо клетке имеется комплексное 
,
то найдется другая клетка такого же размера с 
. В этих клетках возьмем
комплексно сопряженные значения для 
и 
. Каждая же клетка по условию
повторяется в (98) четное число раз с сохранением размера клетки. Тогда в
половине этих клеток положим 
, а в другой половине возьмем 
. Тогда в квазидиагональной
матрице (98) диагональные клетки либо будут вещественными, либо будут попарно
комплексно сопряженными. Но такая квазидиагональнля матрица всегда подобна
вещественной матрице. Поэтому существует такая неособенная матрица 
, что матрица
вещественна.
Но тогда будет вещественной и матрица
. (100)
Сопоставляя
формулу (100) с формулой (92), заключаем, что матрицы и 
подобны между собой (поскольку
они подобны одной и той же жордановой матрице). Но две подобные вещественные
матрицы могут быть преобразованы друг в друга с помощью некоторой неособенной
вещественной матрицы 
:
.
Тогда
матрица 
и будет искомым вещественным
логарифмом матрицы .
