§ 5. Обращение прямоугольных матриц. Псевдообратная матрица

Если  — квадратная и неособенная матрица, то для нее существует обратная матрица . Если же  — не квадратная, а прямоугольная -матрица () или квадратная, но особенная, то матрица  не имеет обратной и символ  не имеет смысла. Однако, как будет показано далее, для произвольной прямоугольной матрицы  существует «псевдообратная» матрица , которая обладает некоторыми свойствами обратной матрицы и имеет важные применения при решении системы линейных уравнений. В случае, когда  — квадратная неособенная матрица, псевдообратная матрица  совпадает с обратной .

1. Скелетное разложение матрицы. В дальнейшем мы будем пользоваться представлением произвольной прямоугольной -матрицы  ранга  в виде произведения двух матриц  и , имеющих соответственно размеры  и :

   .            (36)

Здесь ранги сомножителей  и  обязательно равны рангу произведения ,. Действительно (см. стр. 22), Но ранги  и  не могут превосходить , так как  — один из размеров матриц  и . Поэтому .

Для того чтобы получить разложение (36), достаточно в качестве столбцов матрицы  взять любые  линейно независимых столбцов матрицы , либо любые  линейно независимых столбцов, через которые линейно выражаются столбцы матрицы . Тогда произвольный -й столбец матрицы  будет линейной комбинацией столбцов матрицы  с коэффициентами ; эти коэффициенты и образуют -й столбец матрицы (, см. стр. 19).

Поскольку матрицы  и  имеют максимально возможный ранг , то квадратные матрицы  и  являются неособенными:

, .                                      (37)

Действительно, пусть столбец  — произвольное решение уравнения

.                                                         (38)

Помножим это уравнение слева на строку . Тогда . Отсюда следует  и (поскольку — линейная комбинация линейно независимых столбцов матрицы ; ср. с формулой (13")) . Из того, что уравнение (38) имеет только нулевое решение , вытекает, что. Аналогично устанавливается второе неравенство (37).

Разложение (36) будем называть скелетным разложением матрицы .

2. Существование и единственность псевдообратной матрицы. Рассмотрим матричное уравнение

.                                                       (39)

Если  — квадратная неособенная матрица, то это уравнение имеет единственное решение . Если же  — произвольная прямоугольная -матрица, то искомое решение  имеет размеры  но не определяется однозначно. В общем случае уравнение (39) имеет бесчисленное множество решений. Ниже будет показано, что среди этих решений имеется только одно, обладающее тем свойством, что его строки и столбцы являются линейными комбинациями соответственно строк и столбцов сопряженной матрицы . Именно это решение мы будем называть псевдообратной матрицей для  и обозначать через .

Определение 5. Матрица  размеров  называется псевдообратной для -матрицы , если выполняются равенства

,                                                          (40)

,                                                  (41)

где  и  — некоторые матрицы

Докажем сначала, что для данной матрицы  не может существовать двух различных псевдообратных матриц  и . Действительно, из равенств

,  ,  ,

Полагая , , , найдем:

, .

Отсюда

и, следовательно (см. конец § 3),

.

Но тогда , т.е. .

Для того чтобы установить существование матрицы , мы воспользуемся скелетным разложением (36) и будем искать сначала псевдообратные матрицы  и . Так как по определению должны иметь место равенства

,                                               (42)

где  — некоторая матрица, то

.

Умножая слева на  и замечая, что  — неособенная квадратная матрица, найдем:

.

Но тогда второе из равенств (42) дает искомое выражение для :

.                                          (43)

Совершенно аналогично найдем:

.                                          (44)

Покажем теперь, что матрица

                        (45)

удовлетворяет условиям (40), (41) и, следовательно, является псевдообратной матрицей для .

В самом деле,

.

С другой стороны, из равенств (43), (44) и (45) с учетом равенства , полагая, находим

,

,

где

,     .

Таким образом доказано, что для произвольной прямоугольной матрицы  существует одна и только одна псевдообратная матрица , которая определяется формулой (45), где  и — сомножители в скелетном разложении  матрицы . Из самого определения псевдообратной матрицы непосредственно следует, что в случае квадратной неособенной матрицы  псевдообратная матрица  совпадает с обратной .

Пример. Пусть

.

Здесь . в качестве столбцов матрицы  первые два столбца матрицы . Тогда

и

,  .

,  .

Поэтому, согласно формуле (45)

3. Свойства псевдообратной матрицы. Отметим следующие свойства псевдообратной матрицы:

1 ;

2 ;

3 ,  ;

4 , .

Первое свойство означает, что операции перехода к сопряженной и к псевдообратной матрице перестановочны между собой. Равенство 2° выражает собой взаимность понятия псевдообратной матрицы, тан как согласно 2° псевдообратной матрицей для  является исходная матрица . Согласно равенствам 3° и 4° матрицы  и  являются эрмитовыми и инволютивными (квадрат каждой из этих матриц равен самой матрице).

Для вывода равенства 1° воспользуемся скелетным разложением (36): . Тогда равенство  дает скелетное разложение матрицы . Поэтому, заменяя в формуле (45) матрицу  на , а матрицу  на , получим:

.

Равенства , ,  являются скелетными разложениями. Следовательно,

.

Используя свойство 1°, а также выражения для  и , найдем:

.

Справедливость равенств 3° и 4° проверяется непосредственно путем подстановки в эти равенства вместо  соответствующего выражения из формулы (45).

Заметим, что в общем случае, когда разложение  не является скелетным, не всегда имеет место равенство . Так, например

.

Здесь

, ,

.

Поэтому

.

4. Наилучшее приближенное решение (по методу наименьших квадратов). Рассмотрим произвольную систему линейных уравнений

                                     (46)

или в матричной записи

.                                                           (46')

Здесь  - заданные числа, а  – искомые.

В общем случае система (46) может быть и несовместной.

Столбец

                                                (47)

называется наилучшим приближенным решением системы (46), если при значениях   «квадратичное отклонение»

                                    (48)

достигает своего наименьшего значения и среди всех столбцов , для которых это отклонение имеет минимальное значение, столбец  имеет наименьшую «длину», т. е. для этого столбца величина

                                            (49)

имеет наименьшее значение.

Покажем, что система (46) всегда имеет одно и только одно наилучшее приближенное решение и это приближенное решение определяется по формуле

,                                                    (50)

где  — псевдообратная матрица для матрицы .

Для этого рассмотрим произвольный столбец  и положим

,

где

,  .                         (51)

Тогда

.      (52)

Но

.                (53)

Исходя из разложения (36) и формулы (45), найдем:

.

Поэтому из равенства (53) следует

,                                                                               (54)

но тогда и

.                                                              (54')

Поэтому из равенства (52) находим

,                  (55)

и, следовательно, для любого столбца

.                                                   (56)

Пусть теперь

;

тогда, согласно равенству (55)

,                                                                      (57)

где

.

С другой стороны,

.                 (58)

Вспоминая, что  (см.определение 5), получим в силу (57):

.             (59)

Но тогда и

.

Поэтому из равенства (58) находим

,

и, следовательно

,                                               (60)

причем знак = имеет место только при , т.е. при , где .

Пример. Найти наилучшее приближенное решение (по методу наименьших квадратов) системы линейных уравнений:

,

,

.

Здесь

.

Но тогда (см. пример на стр. 35)

,

и поэтому

.

Следовательно,

, , , .

Определим норму   - матрицы  как неотрицательное число, задаваемое формулой

.                                        (61)

При этом очевидно, что

.                            (61')

Рассмотрим матричное уравнение

,                                                       (62)

где  и  – заданные  и -матрицы, а  - искомая -матрица.

Определим наилучшее приближенное решение  уравнения (62) из условия

,

причем в случае, когда

,

требуется, чтобы

.

Из соотношений

,                            (63)

                                           (64)

следует, что -й столбец искомой матрицы  должен быть наилучшим приближенным решением системы линейных уравнений

Поэтому

Поскольку это равенство справедливо при любом  то

.                                              (65)

Таким образом, уравнение (62) всегда имеет одно и только одно наилучшее приближенное решение, определяемое формулой (65).

В частном случае, когда  — единичная матрица -го порядка, имеем . Следовательно, псевдообратная матрица  является наилучшим приближенным решением (по методу наименьших квадратов) матричного уравнения

.

Это свойство псевдообратной матрицы  может быть принято в качестве ее определения.

5. Метод Гревилля последовательного нахождения псевдообратной матрицы состоит в следующем. Пусть  - -й столбец в -матрице , — матрица, образованная первыми  столбцами матрицы .  — последняя строка в матрице  (, , ). Тогда

                                               (66)

и для  имеют место рекуррентные формулы

, , ;                     (67)

при этом, если , то

;                                                (68)

если же , т.е. , то

.                                                (69)

Предлагаем читателю проверить, что матрица  является псевдообратной для матрицы , если матрица  и строка  определяются формулами (61)-(64). Этот метод не требует вычисления детерминантов и может быть использован для вычисления обратной матрицы. Пример. Пусть

.

Заметим. Что для каждой матрицы  мы можем писать  вместо . Тогда

,

,             ,

,

.

Таким образом

.

Далее

 и .

Поэтому

и

.