§ 7. Нормальная жорданова форма матрицы
Пусть
все корни характеристического многочлена
оператора
принадлежат полю
. Это, в частности,
всегда будет иметь место, если
есть поле всех комплексных чисел.
В
рассматриваемом случае разложение инвариантных многочленов на элементарные
делители в поле
будет
выглядеть так:
. (66)
Так
как произведение всех инвариантных многочленов равно характеристическому
многочлену
,
то
в
(66) суть все различные между собой корни характеристического многочлена
.
Возьмем
какой-либо элементарный делитель
; (67)
здесь
– одно
из чисел
,
а
– один
из (отличных от нуля) показателей
.
Этому
элементарному делителю в расщеплении (40) отвечает определенное циклическое
подпространство
,
порождающий вектор которого обозначим буквой
. Для этого вектора
будет минимальным
многочленом.
Рассмотрим
векторы
. (68)
Векторы
линейно
независимы, так как в противном случае существовал бы аннулирующий многочлен
для вектора
степени
, что
невозможно. Теперь заметим, что
(69)
или
. (70)
Имея
равенства (70), нетрудно выписать матрицу, отвечающую оператору
в
при базисе (68).
Эта матрица будет выглядеть так:
, (71)
где
– единичная
матрица порядка
,
а
–
матрица порядка
,
у которой элементы первой «наддиагонали» равны единице, а все остальные
элементы равны нулю.
Линейно
независимые векторы
, для которых имеют место равенства
(70), образуют так называемую жорданову цепочку векторов в
. Из жордановых цепочек,
взятых в каждом из подпространств
, составляется жорданов базис в
. Если минимальные
многочлены этих подпространств, т. е. элементарные делители оператора
, обозначим теперь
через
(72)
(среди
чисел
могут
быть и равные), то матрица
, отвечающая оператору
в жордановом
базисе, будет иметь следующий квазидиагональный вид:
. (73)
Про
матрицу
говорят,
что она имеет нормальную жорданову форму или просто жорданову форму. Матрица
сразу
выписывается, если известны элементарные делители оператора
в поле
, содержащем все корни
характеристического уравнения
.
Произвольная
матрица
всегда
подобна матрице
,
имеющей нормальную жорданову форму, т. е. для произвольной матрицы
всегда существует
такая неособенная матрица
, что
. (74)
Если
все элементарные делители оператора
первой степени (и только в этом
случае), жорданова форма является диагональной матрицей, и в этом случае мы
имеем:
. (75)
Таким
образом, линейный оператор
имеет простую структуру (см. гл. III,
§ 8) в том и только в том случае, когда все элементарные делители оператора
линейны.
Векторы
,
определяемые равенствами (70), занумеруем в обратном порядке:
. (76)
Тогда
, (77)
откуда
. (78)
Векторы
(76) образуют базис в циклическом инвариантном подпространстве
, соответствующем в
расщеплении (40) элементарному делителю
. В этом базисе, как легко видеть,
оператору
будет
отвечать матрица
. (79)
Про
векторы (76) говорят, что они образуют нижнюю жорданову цепочку векторов. Если
мы в каждом из подпространств
в расщеплении (40) возьмем нижнюю
жорданову цепочку векторов, то из этих цепочек составится нижний жорданов
базис, в котором оператору
отвечает
квазидиагональная матрица
. (80)
Про матрицу
говорят, что она имеет
нижнюю жорданову форму. В отличие от матрицы (80) матрицу (73) мы иногда будем
называть верхней жордановой матрицей.
Таким образом, произвольная
матрица
всегда
подобна как некоторой верхней, так и некоторой нижней жордановой матрице.