§ 6. Извлечение корня m-й степени из неособенной матрицы
Этот
и следующий параграфы мы посвятим уравнению
, (54)
где
– заданная,
а
– искомая
матрицы (обе порядка
),
– данное целое положительное число.
В
данном параграфе мы рассмотрим случай, когда
(
– неособенная матрица). В этом случае
все характеристические числа матрицы
отличны от нуля (ибо
равен произведению
этих характеристических чисел).
Обозначим
через
(55)
элементарные
делители матрицы
и
приведем матрицу
к
жордановой форме:
. (56)
Так
как характеристические числа искомой матрицы
при возведении в
-ю степень дают
характеристические числа матрицы
, то и у матрицы
все характеристические
числа отличны от нуля. Поэтому на этих характеристических числах производная от
не
обращается в нуль. Но в таком случае (см. гл. VI, стр. 159) элементарные
делители матрицы
не
«расщепляются» при возведении матрицы
в
-ю степень. Из сказанного следует, что
элементарными делителями матрицы
будут:
, (57)
где
, т. е.
является одним из
корней
-й
степени из
.
Определим
теперь
следующим
образом. Возьмем в
-плоскости круг с центром в точке
, не захватывающий
нуля. В этом круге мы имеем
раздельных ветвей функции
. Эти ветви можно
отличать одну от другой по значениям, которые они принимают в центре круга, в
точке
.
Обозначим через
ту
ветвь, значение которой в точке
, совпадает с характеристическим
числом
искомой
матрицы
,
и, исходя из этой ветви, определим функцию от матрицы
с помощью обрывающегося
ряда
. (58)
Так
как производная от рассматриваемой функции
в точке
не равна нулю, то матрица (58) имеет
только один элементарный делитель
, где
(здесь
). Отсюда следует, что квазидиагональная
матрица
имеет
элементарные делители (57), т. е. те же элементарные делители, что и искомая
матрица
.
Поэтому существует такая неособенная матрица
, что
. (59)
Для
определения матрицы
заметим, что, подставляя в обе части
тождества
вместо
матрицу
, получим:
.
Теперь
из (54) и (59) следует:
. (60)
Сопоставляя
(56) и (60), найдем:
, (61)
где
–
произвольная неособенная матрица, перестановочная с
(структура матрицы
детально описана в
§ 2).
Подставляя
в (59) вместо
выражение
,
получаем формулу, охватывающую все решения уравнения (54):
. (62)
Многозначность
правой части этой формулы имеет как дискретный, так и континуальный характер:
дискретный (в данном случае и конечный) характер этой многозначности получается
за счет выбора различных ветвей функции
в различных клетках квазидиагональной
матрицы (при этом даже при
ветви
в
-й и в
-й диагональных клетках могут быть
различными); континуальный характер многозначности получается за счет
произвольных параметров, содержащихся в матрице
.
Все
решения уравнения (54) мы будем называть корнями
-й степени из матрицы
и обозначать
многозначным символом
. Обратим внимание на то, что
в общем случае не
является функцией от матрицы
(т. е. не представляется в виде
многочлена от
).
Замечание.
Если все элементарные делители матрицы
попарно взаимно просты, т. е. числа
все различны, то
матрица
имеет
квазидиагональный вид
,
где
матрица
перестановочна
с
и,
следовательно, перестановочна с любой функцией от
, в частности с
. Поэтому в
рассматриваемом случае формула (62) принимает вид
.
Таким образом, если элементарные
делители матрицы
попарно
взаимно просты, то в формуле для
имеется только дискретная многозначность.
В этом случае любое значение
можно представить как многочлен от
.
Пример.
Пусть требуется найти все квадратные корни из матрицы
,
т.
е. все решения уравнения
.
В
данном случае матрица
уже имеет нормальную жорданову форму.
Поэтому в формуле (62) можно положить
. Матрица
в данном случае выглядит
так (см. стр. 204):
,
где
– произвольные
параметры.
Формула
(62), дающая все искомые решения
, в данном случае принимает следующий
вид:
. (63)
Не
изменяя
,
мы можем в формуле (62) помножить
на такой скаляр, чтобы
. В данном случае
это приведет к равенству
, откуда
.
Вычислим
элементы матрицы
.
Для этого выпишем линейное преобразование с матрицей коэффициентов
:
Разрешим
эту систему уравнений относительно
. Тогда получим преобразование с
обратной матрицей
:
Отсюда
находим:
.
Формула
(63) дает:
(64)
Решение
зависит
от двух произвольных параметров
и
и от двух произвольных знаков
и
.