§ 3. Неравенства Вейля
В
настоящем параграфе мы выведем принадлежащие Г. Вейлю неравенства, которые
позволяют оценивать собственные числа линейного оператора
посредством его
сингулярных чисел. Нам понадобится следующее важное предложение:
Лемма
6. Пусть
– собственные
числа линейного оператора
, занумерованные так, что
, (46)
и
пусть
(47)
–
сингулярные числа этого оператора. Тогда при любом
справедливы неравенства
. (48)
Для
доказательства рассмотрим ортонормированный базис
, (49)
в
котором матрица оператора
имеет треугольный вид. Существование
такого базиса устанавливается теоремой Шура (см. гл. IX, стр. 242). Мы
воспользуемся леммой 4 и двумя способами оценим определитель
. (50)
Пусть
–
элементы матрицы оператора
в базисе (49). Имеем
. Поскольку
при
, то
(51)
и
. (52)
Формула
(52) позволяет записать определитель (50) в виде следующего произведения двух
определителей:
. (53)
Поскольку
и оба
определителя в правой части (53) равны произведению диагональных элементов, то
. (54)
С
другой стороны, в силу леммы 4
, (55)
так
как
.
Неравенства
(48) следуют теперь из соотношений (54) и (55). Лемма 6 доказана.
Используя
неравенства (48), мы сейчас докажем следующую теорему:
Теорема
2 (см. [257]). Пусть
– линейный оператор и пусть
и
– его собственные
и сингулярные числа, занумерованные так же, как и в лемме 6. Пусть
– непрерывная при
функция
такая, что
–
монотонно возрастающая выпуклая функция параметра
. Тогда при любом
справедливы неравенства
. (56)
Доказательство.
Если оператор
невырожден,
то согласно (48) получаем:
(57)
при
всех
.
Отсюда на основании леммы 2 уже следуют неравенства (56). Если оператор
вырожден, то
неравенства (56) могут быть получены по непрерывности. Теорема доказана.
Замечание
1. При
неравенство
(48) превращается в равенство, так как в этом случае равенство имеет место в
формуле (55). Следовательно, при
равенство достигается и в (57).
Используя замечания к лемме 2, мы можем заключить, что
для любой функции
, если только
функция
выпукла.
Возрастание оказывается нелишним требованием. Например, при любом вещественном
. (58)
Замечание
2. Рассмотрим функцию
, (59)
где
фиксировано
и положительно. Легко проверить, что функция (59) удовлетворяет всем условиям
теоремы 2. Поэтому при любом
,
, имеем:
.
Потенцируя,
получаем неравенство
, (60)
которое
используется в теории интегральных операторов.