Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
§ 4. Эквивалентность линейных двучленов
В
предыдущих параграфах мы рассматривали прямоугольные
-матрицы. В этом же
параграфе мы рассмотрим две квадратные
-матрицы
и
-го порядка, у которых все элементы
имеют степень не выше единицы относительно
. Эти многочленные матрицы могут быть
представлены в виде матричных двучленов:
,
.
Мы
будем предполагать, что эти двучлены имеют первую степень и регулярны, т. е.
что
,
(см. стр. 87).
Следующая
теорема устанавливает критерий эквивалентности таких двучленов:
Теорема
6. Если два регулярных двучлена первой степени
и
эквивалентны, то эти двучлены строго
эквивалентны, т. е. в тождестве
(20)
можно
и
– матрицы с
постоянными и отличными от нуля определителями – заменить постоянными
неособенными матрицами
и
:
. (21)
Доказательство.
Так как определитель матрицы
не зависит от
и отличен от нуля, то
обратная матрица
также будет многочленной. Пользуясь
этой матрицей, мы тождество (20) перепишем в виде
. (22)
Рассматривая
и
как матричные
многочлены, разделим
слева на
, a
– справа на
:
, (23)
; (24)
здесь
и
– постоянные (не
зависящие от
)
квадратные матрицы
-го порядка. Полученные выражения для
и
поставим в (22).
После небольших преобразований получим:
. (25)
Разность,
стоящая в квадратных скобках, должна тождественно равняться нулю, так как в
противном случае произведение, стоящее в левой части равенства (25), имело бы
степень
,
в то время как в правой части этого же равенства стоит многочлен не выше первой
степени. Поэтому
; (26)
но
тогда из (25) получим:
. (27)
Покажем
теперь, что
–
неособенная матрица. Для этого разделим
слева на
:
. (28)
Из
(22), (23) и (28) следует:
(29)
Так
как последняя часть этой цепочки равенств должна иметь пулевую степень
относительно
(поскольку
она равна
),
то выражение в квадратных скобках должно тождественно равняться нулю. Но тогда
из (29)
. (30)
Отсюда
следует:
и
.
Умножая
обе части равенства (27) слева на
, получим:
.
Неособенность
матрицы
следует
из (30). Но неособенность матриц
и
следует и из самого тождества (21),
так как из этого тождества вытекает равенство
и
потому
.
Теорема
доказана.
Примечание.
Из доказательства следует [см. (24) и (28)], что в качестве постоянных матриц
и
, которыми мы
заменяем
-матрицы
и
в тождестве (20),
можно взять соответственно левый и правый остатки от деления
и
на
.