Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
§ 5. Приведение квадратичной формы к главным осям
Рассмотрим
произвольную вещественную квадратичную форму
.
Ее
матрица коэффициентов
является вещественной симметрической.
Поэтому (см. гл. IX, § 13) она ортогонально-подобна некоторой вещественной
диагональной матрице
, т. е. существует такая вещественная
ортогональная матрица
, что
. (41)
Здесь
–
характеристические числа матрицы
.
Поскольку
для ортогональной матрицы
, то из (41) следует, что форма
при ортогональном
преобразовании переменных
(42)
или
в более подробной записи
(42')
переходит
в форму
. (43)
Теорема
7. Вещественная квадратичная форма
всегда может быть приведена при
помощи ортогонального преобразования к канонической форме (43); при этом
– характеристические
числа матрицы
.
Приведение
квадратичной формы
при помощи ортогонального
преобразования к канонической форме (43) называется приведением к главным осям.
Это название связано с тем, что уравнение центральной гиперповерхности второго
порядка,
, (44)
при
ортогональном преобразовании переменных (42) принимает канонический вид
. (45)
Если
мы будем рассматривать
как координаты в некотором
ортонормированном базисе
-мерного евклидова пространства, то
будут координатами
в новом ортонормированном базисе того же пространства, причем «поворот» осей
осуществляется ортогональным преобразованием (42). Новые оси координат являются
осями симметрии центральной поверхности (44) и обычно называются главными осями
этой поверхности.
Из
формулы (43) следует, что ранг
формы
равен числу отличных от нуля
характеристических чисел матрицы
, а сигнатура
равна разности между числом
положительных и числом отрицательных характеристических чисел матрицы
.
Отсюда,
в частности, вытекает и такое предложение:
Если
при непрерывном изменении коэффициентов квадратичной формы остается неизменным
ее ранг, то при этом изменении коэффициентов остается неизменной и ее
сигнатура.
При
этом мы исходим из того, что непрерывное изменение коэффициентов влечет
непрерывное изменение характеристических чисел. Сигнатура может измениться лишь
тогда, когда какое-либо характеристическое число поменяет знак. Но тогда в
какой-то промежуточный момент рассматриваемое характеристическое число
обратится в нуль, что влечет изменение ранга формы.
Из
формулы (43) также следует, что вещественная симметрическая матрица
является
положительно полуопределенной (положительно определенной) в том и только в том
случае, когда все характеристические числа матрицы
неотрицательны (положительны),
т. е. когда она представима в виде
. (46)
Положительно
полуопределенная (определенная) матрица
(47)
является
корнем квадратным из положительно полуопределенной (определенной) матрицы
:
. (48)