§ 2. Сложение и умножение прямоугольных матриц

Определим основные операции над матрицами: сложение матриц, умножение матрицы на число и умножение матриц.

1. Пусть величины  выражаются через величины  при помощи линейного преобразования

  ,                  (5)

а величины  — через те же величины  при помощи преобразования

   .                  (6)

Тогда

   .                  (7)

В соответствии с этим мы устанавливаем

Определение 2. Суммой двух прямоугольных матриц и  одинаковых размеров  называется матрица  тех же размеров, элементы которой равны суммам соответствующих элементов данной матрицы:

,

если

Операция нахождения суммы данных матриц называется сложением матриц.

Пример

.

Согласно определению 2, складывать можно только прямоугольные матрицы одинаковых размеров.

В силу этого же определения матрица коэффициентов в преобразовании (7) есть сумма матриц коэффициентов в преобразованиях (5) и (6).

Из определения сложения матриц непосредственно следует, что эта операция обладает переместительным и сочетательным свойствами:

1°                                                    ,

2°                                       .

Здесь , ,  — произвольные прямоугольные матрицы одинаковых размеров.

Операция сложения матриц естественным образом распространяется на случай любого числа слагаемых.

2. Умножим в преобразовании (5) величины  на некоторое число  из . Тогда

  .

В соответствии с этим имеет место

Определение 3. Произведением матрицы  на число  из  называется матрица  элементы которой получаются из соответствующих элементов матрицы  умножением на число :

,

если

Операция нахождения произведения матрицы на число называется умножением матрицы на число.

Пример

Легко видеть, что

1° ,

2° ,

3° .

Здесь ,  — прямоугольные матрицы одинаковых размеров, ,  — числа из поля .

Разность  двух прямоугольных матриц одинаковых размеров определяется равенством

Если  — квадратная матрица порядка , а  — число из , то

.

3. Пусть величины выражаются через величины  при помощи преобразования

                     (8)

а величины  — через те же величины  при помощи формул

   .                  (9)

Тогда, подставляя эти выражения для  в формулы (8), мы выразим  через  при помощи «составного» преобразования:

  .         (10)

В соответствии с этим имеет место

Определение 4. Произведением двух прямоугольных матриц

,   

называется матрица

,

у которой элемент, стоящий на пересечении -й строки и -го столбца, равен «произведению» -й строки первой матрицы  на -й столбец второй матрицы :

             (11)

Операция нахождения произведения данных матриц называется умножением матриц.

Пример

 По определению 4 матрица коэффициентов в преобразовании (10) равна произведению матрицы коэффициентов в (8) на матрицу коэффициентов (9).

Заметим, что операция умножения двух прямоугольных матриц выполнима лишь в том случае, когда число столбцов в первом сомножителе равно числу строк во втором. В частности, умножение всегда выполнимо, если оба сомножителя — квадратные матрицы одного и того же порядка. Обратим внимание читателя и на то, что даже в этом частном случае умножение матриц не обладает переместительным свойством. Так, например,

Если , то матрицы  и  называются перестановочными или коммутирующими между собой.

Пример. Матрицы

 и

перестановочны между собой, так как

, .

Легко проверяется сочетательное свойство умножения матриц, а также распределительное свойство умножения относительно сложения:

1°                                   

2°                                                        (12)

3°                       

Операция умножения матриц естественным образом распространяется на случай нескольких сомножителей.

4. Если воспользоваться произведением прямоугольных матриц, то линейное преобразование

               (13)

можно записать одним матричным равенством

или в сокращенной записи:

,                                                             (13’)

Здесь ,  – столбцевые матрицы  - прямоугольная матрица размером .

Равенства (13) выражают собой тот факт, что столбец  является линейной комбинацией столбцов матрицы  с коэффициентами :

          (13'')

Вернемся теперь к равенствам (11), которые эквивалентны одному матричному равенству

                                                                    (14)

Эти равенства могут быть записаны в виде

                         (14')

или в виде

     .                   (14'')

Таким образом, любой -й столбец матрицы-произведения является линейной комбинацией столбцов первого сомножителя, т. е. матрицы , причем коэффициенты этой линейной зависимости образуют -й столбец во втором сомножителе . Аналогично, любая -я строка в матрице является линейной комбинацией строк матрицы , а коэффициентами этой линейной зависимости являются элементы -й строки матрицы .

Остановимся еще на том частном случае, когда в произведении  второй сомножитель является квадратной и притом диагональной матрицей . Тогда из формул (11) следует:

  ,

т.е.

.

Аналогично

.

Таким образом, при умножении прямоугольной матрицы  справа (слева) на диагональную матрицу  все столбцы (соответственно строки) матрицы  помножаются на числа

5. Пусть квадратная матрица  является произведением двух прямоугольных матриц  и  соответственно размеров  и :

                         (15)

т. е.

                                                                                         (15’)

Установим важную формулу Бине-Коши, выражающую определитель  через миноры матриц  и :

                                     (16)

или в специальных обозначениях:

              (16’)

Согласно этой формуле определитель матрицы  равен сумме произведений всевозможных миноров максимального (-го) порядка матрицы  на соотвествтующие миноры того же порядка матрицы .

Вывод формулы Бине-Коши. На основании формулы (15’) определитель матрицы  можно представить в виде

                        (16'')

Если , то среди чисел  всегда найдутся равные между собой числа и, следовательно, каждое слагаемое в правой части равенства (16") будет равно нулю. Значит, в этом случае

Пусть теперь  . Тогда в сумме, стоящей в правой части равенства (16"), будут равны нулю те слагаемые, у которых хотя бы два из индексов  равны между собой. Все же остальные слагаемые этой суммы можно разбить на группы по  слагаемых в каждой, объединяя в одну группу те слагаемые, которые отличаются друг от друга только порядком индексов  (индексы  в пределах каждой группы слагаемых имеют одну и ту же совокупность значений). Тогда в пределах одной такой группы сумма соответствующих слагаемых будет равна

Поэтому из (16") получаем (16').

Пример 1.

Поэтому формула (16) дает так называемое тождество Коши

Полагая в этом тождестве  и  , получим:

В случае когда  и  - вещественные числа, отсюда следует известное неравенство:

.

При этом знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда все числа пропорциональны соответствующим .

Пример 2.

.

Поэтому  при

.

Рассмотрим частный случай, когда  и  — квадратные матрицы одного и того же порядка , и положим в (16') . Тогда приходим к известной теореме об умножении определителей:

,

или в других обозначениях:

                                      (17)

Таким образом, определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению определителей перемножаемых матриц.

6. Формула Бине—Коши дает возможность в самом общем случае выразить миноры произведения двух прямоугольных матриц через миноры сомножителей. Пусть

, ,

и

.

Рассмотрим произвольный минор матрицы :

  .

Матрица, составленная из элементов этого минора, представляет собой произведение двух прямоугольных матриц

,   .

Поэтому, применяя формулу Бине—Коши, получаем:

      (18)

При  формула (18) переходит в формулу (11). При  формула (18) является естественным обобщением формулы (11).

Отметим еще одно следствие из формулы (18).

Ранг произведения двух прямоугольных матриц не превосходит ранга любого из сомножителей.

Если  и   — ранги матриц , , , то

.

7. Если — решение матричного уравнения (размеры матриц ,и   соответственно ,  и ), то . Покажем, что среди решений матричного уравнения  существует решение  минимального ранга, для которого .

Действительно, пусть . Тогда среди столбцов матрицы  имеется  линейно независимых. Пусть для конкретности первые  столбцов  линейно независимы, а остальные столбцы  являются линейными комбинациями первых :

  .

Пусть — произвольное решение уравнения . Тогда (см. стр. 19)

                            (20)

Определим столбцы   равенствами

   .

Умножая эти равенства слева почленно на , в силу равенств (19) и (20) находим:

                   (20')

Система из  равенств (20) и (20') эквивалентна одному матричному равенству

,

где  — матрица ранга .

Решение  минимального ранца  матричного уравнения всегда представимо в виде

,

где   — некоторая -матрица.

Действительно, из равенства  следует, что строки матрицы  являются линейными комбинациями строк матрицы . Поскольку как среди строк матрицы , так и среди строк матрицы  имеется одно и то же число  линейно независимых, то и, обратно, строки матрицы  являются линейными комбинациями строк матрицы , а отсюда уже следует равенство .

Докажем теперь следующее предложение.

Матричное уравнение

,

где ,  — заданные, а — искомая прямоугольная матрица, имеет решение в том и только том случае, когда одновременно имеют решения матричные уравнения

,  ,                        (22)

т. е. когда столбцы матрицы  являются линейными комбинациями столбцов матрицы , а строки матрицы  являются линейными комбинациями строк матрицы .

В самом деле, если матрица — решение уравнения (21), то матрицы  и  являются решениями уравнений (22).

Обратно, пусть существуют решения ,  уравнений (22). Тогда первое из этих уравнений имеет решение  минимального ранга , которое по доказанному представимо в виде

.

Поэтому

.

Тогда матрица  будет решением уравнения (21).