§ 7. Дифференциальные системы в комплексной области. Общие свойства
Рассмотрим систему дифференциальных
уравнений
(54)
Здесь данные функции 
и искомые функции
предполагаются
однозначными аналитическими функциями комплексного аргумента 
, регулярными в
некоторой области 
комплексной -плоскости.
Вводя квадратную матрицу 
и столбцевую
матрицу 
,
мы, как и в случае вещественного аргумента (§ 1), можем записать систему (54) в
виде
(54')
Обозначая через 
интегральную
матрицу, т. е. матрицу, столбцами которой являются 
линейно независимых
решений системы (54), мы вместо (54') можем написать:
(55)
Формула Якоби имеет место и при
комплексном аргументе :
(56)
При этом предполагается, что 
и все точки пути,
вдоль которого берется 
, являются регулярными точками для
однозначной аналитической функции 
.
Специфичность рассматриваемого случая
комплексного аргумента заключается в том, что при однозначной функции 
интегральная
матрица 
может
быть многозначной функцией от .
В качестве примера рассмотрим систему Коши
(
- постоянная
матрица). (57)
Одним из решений этой системы, как и в случае
вещественного аргумента, является (см. стр. 421) интегральная матрица
(58)
В качестве области возьмем всю -плоскость за исключением
точки 
. Все точки этой
области являются регулярными точками матрицы коэффициентов
.
Если
,
то точка является особой
точкой (полюсом первого порядка) для матричной функции .
Элемент интегральной матрицы (58) при однократном
обходе в положительном направлении точки
возвращается
с новым значением, которое получается из старого умножением справа на
постоянную матрицу
.
Для общей системы
(55) теми же рассуждениями, что и в случае вещественного аргумента, убеждаемся
в том, что два однозначных решения и 
в некоторой части области всегда связаны
формулой
,
где 
- некоторая постоянная матрица. Эта
формула сохранится при любом аналитическом продолжении функций и 
в области .
Теорема о существовании и единственности (при
заданных начальных значениях) решения системы (54) может быть доказана
аналогично вещественному случаю.
Рассмотрим односвязную и
притом звездообразную относительно точки
область
,
составляющую часть области , и пусть матричная функция регулярна в
области .
Составим ряд
(59)
Из односвязности области следует, что каждый
встречающийся в ряду (59) интеграл не зависит от пути интегрирования и
представляет собой регулярную функцию в области . Поскольку область звездообразна
относительно , то при оценке
модулей этих интегралов мы можем считать, что все интегралы берутся вдоль
прямолинейного отрезка, соединяющего точки
и .
Абсолютная и равномерная в любой замкнутой части
области ,
содержащей точку , сходимость
ряда (59) вытекает из сходимости мажорантного
ряда
Здесь 
- верхняя граница для модуля матрицы
, а 
- верхняя граница
расстояний точки от
точки , причем обе
границы относятся к рассматриваемой замкнутой части области .
Путем почленного дифференцирования проверяется, что
сумма ряда (59) представляет собой решение уравнения (55). Это решение
нормировано, поскольку оно при
обращается
в единичную матрицу 
.
Однозначное нормированное решение системы (55), как и в вещественном случае,
будем называть матрицантом и будем обозначать через 
. Таким образом,
мы получили, представление матрицанта в области в виде ряда
(60)
Свойства 1°-4°
матрицанта, установленные в § 5,
автоматически переносятся и на случай комплексного аргумента.
Произвольное решение уравнения (55), регулярное в
области и обращающееся
при в матрицу 
, представится в виде
. (61)
Формула (61) охватывает все однозначные решения,
регулярные в окрестности точки
[-
регулярная точка для матрицы коэффициентов
]. Эти решения, будучи аналитически
продолжены в область , дадут все решения уравнения (55),
т. е. уравнение (55) не может иметь решений, для которых
была
бы особой точкой.
Для аналитического продолжения матрицанта в область удобно
пользоваться мультипликативным интегралом.
