§ 6. Нормальные формы матрицы
1.
Пусть дан некоторый многочлен с коэффициентами из поля
.
Рассмотрим
квадратную матрицу
-го порядка
. (36)
Нетрудно
проверить, что многочлен
является характеристическим
многочленом матрицы
:
.
С
другой стороны, минор элемента
в характеристическом определителе
равен
.
Поэтому
и
,
.
Таким
образом, матрица
имеет
единственный отличный от единицы инвариантный многочлен, равный
.
Матрицу
мы будем
называть сопровождающей матрицей для многочлена
.
Пусть
дана матрица
с
инвариантными многочленами
. (37)
Здесь
все многочлены
имеют
степень выше пулевой, причем каждый из этих многочленов, начиная со второго,
является делителем предыдущего. Сопровождающие матрицы для этих многочленов
обозначим через
.
Тогда
квазидиагональная матрица
-го порядка
(38)
имеет
своими инвариантными многочленами многочлены (37) (см. теорему 4 на стр. 145).
Поскольку матрицы
и
имеют одни и те же инвариантные
многочлены, они подобны, т. е. существует всегда такая неособенная матрица
, что
. (I)
Матрица
называется
первой естественной нормальной формой для матрицы
. Эта нормальная форма
характеризуется: 1) квазидиагональным видом (38), 2) специальной структурой
диагональных клеток (36) и 3) дополнительным условием: в ряду
характеристических многочленов диагональных клеток каждый многочлен, начиная со
второго, является делителем предыдущего.
2.
Обозначим теперь через
(39)
элементарные
делители матрицы
в
числовом поле
.
Соответствующие сопровождающие матрицы обозначим через
.
Поскольку
–
единственный элементарный делитель матрицы
, то согласно теореме 5
квазидиагональная матрица
(40)
имеет
своими элементарными делителями многочлены (39).
Матрицы
и
имеют одни и те же
элементарные делители в поле
. Поэтому эти матрицы подобны, т. е.
существует всегда такая неособенная матрица
, что
. (II)
Матрица
называется
второй естественной нормальной формой для матрицы
. Эта нормальная форма
характеризуется: 1) квазидиагональным видом (40), 2) специальной структурой
диагональных клеток (36) и 3) дополнительным условием: характеристический
многочлен каждой диагональной клетки представляет собой степень неприводимого в
поле
многочлена.
Замечание.
Элементарные делители матрицы
в отличие от инвариантных многочленов
существенно связаны с данным числовым полем
. Если мы вместо исходного числового
поля
возьмем
другое числовое поле (которому также принадлежат элементы данной матрицы
), то элементарные
делители могут измениться. Вместе с элементарными делителями изменится и вторая
естественная нормальная форма матрицы.
Так,
например, пусть дана матрица
с вещественными элементами.
Характеристический многочлен этой матрицы будет иметь вещественные
коэффициенты. В то же время этот многочлен может иметь комплексные корни. Если
– поле
вещественных чисел, то среди элементарных делителей могут быть и степени
неприводимых квадратных трехчленов с вещественными коэффициентами. Если
– поле комплексных
чисел, то каждый элементарный делитель имеет вид
.
3.
Допустим теперь, что числовое поле
содержит не только элементы матрицы
, но и все
характеристические числа этой матрицы. Тогда элементарные делители матрицы
имеют вид
. (41)
Рассмотрим
один из таких элементарных делителей
и
поставим ему в соответствие следующую матрицу порядка
:
. (42)
Нетрудно
проверить, что эта матрица имеет только один элементарный делитель
. Матрицу (42) мы
будем называть жордановой клеткой, соответствующей элементарному делителю
.
Жордановы
клетки, соответствующие элементарным делителям (41), обозначим через
.
Тогда
квазидиагональная матрица
имеет
своими элементарными делителями степени (41).
Матрицу
можно
еще записать так:
,
где
,
.
Поскольку
матрицы
и
имеют одни
и те же элементарные делители, они подобны между собой, т. е. существует такая
неособенная матрица
, что
. (III)
Матрица
называется
жордановой нормальной формой или просто жордановой формой матрицы
. Жорданова форма
характеризуется квазидиагональным видом и специальной структурой (42)
диагональных клеток.
На
нижеследующей схеме выписана жорданова матрица
при элементарных делителях
:
. (43)
Если
все элементарные делители матрицы
– первой степени (и только в этом
случае), жорданова форма является диагональной матрицей, и в этом случае мы
имеем:
. (44)
Таким
образом, матрица
имеет
простую структуру (см. гл. III, § 8) в том и только в том случае, когда все ее
элементарные делители имеют первую степень.
Иногда
вместо жордановой клетки (42) рассматривают «нижнюю» жорданову клетку
-го порядка
.
Эта
матрица также имеет только один элементарный делитель
. Элементарным делителям
(41) соответствует «нижняя» жорданова матрица
.
Произвольная
матрица
,
имеющая элементарные делители (41), всегда подобна матрице
, т. е. существует такая
неособенная матрица
, что
. (IV)
Заметим
еще, что если
,
то каждая из матриц
,
имеет
только один элементарный делитель:
. Поэтому для неособенной матрицы
, имеющей
элементарные делители (41), наряду с (III) и (IV) имеют место представления
, (V)
. (VI)