§ 5. Неравенства для собственных и сингулярных чисел сумм и произведений операторов

Пусть  и  – два эрмитовых оператора в -мерном унитарном пространстве , собственные числа которых известны. Теоремы предыдущего параграфа дают возможность оценить суммы вида (75) собственных чисел оператора . Близкие по характеру оценки мы получим и в случае произведения операторов. Мы начнем со следующего предложения.

Теорема 6 (см. [260е]). Пусть  и  – эрмитовы операторы такие, что ; пусть  и   – собственные числа операторов  и  соответственно, занумерованные в порядке убывания.

Тогда для любого набора  натуральных чисел

                        (105)

справедливо неравенство

.                 (106)

При  в формуле (106) достигается равенство.

Доказательство. По заданному набору (105) выберем такую цепочку подпространств

,             (107)

чтобы для любой системы векторов

,                       (108)

подчиненной цепочке (107), выполнялось неравенство

.                 (109)

Такая цепочка (107) найдется в силу теоремы 4 (ср. лемму 7).

Заметив, что

,                   (110)

подберем такую систему векторов, подчиненную цепочке (107), чтобы

.                (111)

Такую систему векторов можно найти также на основании теоремы 4 (ср. лемму 7, А). Так как, далее, в силу теоремы 3 для любой ортогональной нормированной системы

,                 (112)

то неравенство (106) следует из (109), (110), (111) и (112). При  (106) превращается в равенство, поскольку .

Теорема 6 доказана полностью.

Следствие. Для любой непрерывной выпуклой функции  справедливо неравенство

.                 (113)

Этот результат следует из неравенств (106) на основании замечания к лемме 2.

Оказывается, неравенства типа (106) справедливы для сингулярных чисел произвольных линейных операторов. Для доказательства соответствующего предложения мы используем следующее замечание: пусть  – матрица некоторого линейного оператора  в ортонормированном базисе, и пусть  – сингулярные числа . Рассмотрим квадратную матрицу

порядка . Мы сейчас покажем, что собственные числа матрицы  равны  . Действительно, раскрыв характеристический определитель  по формуле (1б) стр. 59, легко найдем:

.

Отсюда сразу следует сформулированное утверждение.

Сопоставив каждому оператору  оператор , действующий в -мерном унитарном пространстве, мы на основании теоремы 6 установим следующее предложение:

Теорема 7 (см. [149]). Пусть  и  – линейные операторы в -мерном унитарном пространстве. Пусть , и пусть  и   – сингулярные числа операторов  и , занумерованные в порядке убывания. Тогда для любого набора натуральных чисел (105) справедливо неравенство

.               (114)

Замечание. Так как собственные числа операторов  и  располагаются относительно начала координат симметричными парами, неравенства (114) на основании теоремы 6 легко обобщаются следующим образом:

.

Поскольку выбор знака перед каждой скобкой произволен, то

.                  (114')

Используя лемму 2, мы можем на основании неравенств (114) заключить, что для любой непрерывной возрастающей выпуклой функции , и любого

.

Перейдем теперь к оценке сингулярных и собственных чисел произведений двух операторов. Основной в этом направлении является следующая теорема, обобщающая неравенство (35) (см. лемму 5).

Теорема 8. Пусть  и  – линейные операторы в -мерном унитарном пространстве. Пусть  и пусть  и   – сингулярные числа операторов  и  соответственно, занумерованные в порядке убывания; тогда для любого набора натуральных чисел

                        (115)

справедливы неравенства

,                (116)

.                (116')

Доказательство этой теоремы вполне аналогично доказательству теоремы 6.

Докажем сначала неравенства (116'). На основании леммы 4 § 2 получаем:

                    (117)

для любой системы векторов  . По данному набору натуральных чисел (115) найдем на основании теоремы 5 такую цепочку подпространств, чтобы для любой подчиненной ей системы векторов выполнялось неравенство

,                        (118)

после чего на основании той же теоремы 5 найдем такую подчиненную, выбранной цепочке систему векторов, чтобы

.                      (119)

Очевидно, неравенство (116) уже следует из неравенств (117), (118) и (119).

Для доказательства неравенства (116) следует повторить рассуждение применительно к оператору  и воспользоваться при этом тем фактом, что сингулярные числа у сопряженных операторов равны [см. (82), стр. 251]. Теорема 8 доказана полностью.

Заметим попутно, что сингулярные числа операторов  и  в общем случае не совпадают.

Отметим еще следующий факт, вытекающий из теоремы 8:

Теорема 9. Пусть  и  – два положительно определенных эрмитовых оператора с собственными числами  и  , занумерованными в убывающем порядке, и пусть

                      (120)

– собственные числа оператора .

Тогда для любого набора (115) выполняется неравенство

.                  (121)

Доказательство. Так как оператор  невырожден, то

              (122)

и, следовательно, собственные числа (120) являются квадратами сингулярных чисел оператора .

Применяя к произведению  неравенство (116), получаем (121).