§ 5. Неравенства для собственных и сингулярных чисел сумм и произведений операторов
Пусть
и
– два эрмитовых
оператора в
-мерном
унитарном пространстве
, собственные числа которых известны.
Теоремы предыдущего параграфа дают возможность оценить суммы вида (75)
собственных чисел оператора
. Близкие по характеру оценки мы
получим и в случае произведения операторов. Мы начнем со следующего
предложения.
Теорема
6 (см. [260е]). Пусть
и
– эрмитовы операторы такие, что
; пусть
и
– собственные
числа операторов
и
соответственно, занумерованные в
порядке убывания.
Тогда
для любого набора
натуральных чисел
(105)
справедливо
неравенство
. (106)
При
в
формуле (106) достигается равенство.
Доказательство.
По заданному набору (105) выберем такую цепочку подпространств
, (107)
чтобы
для любой системы векторов
, (108)
подчиненной
цепочке (107), выполнялось неравенство
. (109)
Такая
цепочка (107) найдется в силу теоремы 4 (ср. лемму 7).
Заметив,
что
, (110)
подберем
такую систему векторов, подчиненную цепочке (107), чтобы
. (111)
Такую
систему векторов можно найти также на основании теоремы 4 (ср. лемму 7, А). Так
как, далее, в силу теоремы 3 для любой ортогональной нормированной системы
, (112)
то
неравенство (106) следует из (109), (110), (111) и (112). При
(106)
превращается в равенство, поскольку
.
Теорема
6 доказана полностью.
Следствие.
Для любой непрерывной выпуклой функции
справедливо неравенство
. (113)
Этот
результат следует из неравенств (106) на основании замечания к лемме 2.
Оказывается,
неравенства типа (106) справедливы для сингулярных чисел произвольных линейных
операторов. Для доказательства соответствующего предложения мы используем
следующее замечание: пусть
– матрица некоторого линейного
оператора
в
ортонормированном базисе, и пусть
– сингулярные числа
. Рассмотрим
квадратную матрицу
порядка
. Мы
сейчас покажем, что собственные числа матрицы
равны
. Действительно, раскрыв
характеристический определитель
по формуле (1б) стр. 59, легко
найдем:
.
Отсюда
сразу следует сформулированное утверждение.
Сопоставив
каждому оператору
оператор
, действующий в
-мерном унитарном
пространстве, мы на основании теоремы 6 установим следующее предложение:
Теорема
7 (см. [149]). Пусть
и
– линейные операторы в
-мерном унитарном
пространстве. Пусть
, и пусть
и
– сингулярные числа
операторов
и
, занумерованные
в порядке убывания. Тогда для любого набора натуральных чисел (105) справедливо
неравенство
. (114)
Замечание.
Так как собственные числа операторов
и
располагаются относительно начала
координат симметричными парами, неравенства (114) на основании теоремы 6 легко
обобщаются следующим образом:
.
Поскольку
выбор знака перед каждой скобкой произволен, то
. (114')
Используя
лемму 2, мы можем на основании неравенств (114) заключить, что для любой
непрерывной возрастающей выпуклой функции
, и любого
.
Перейдем
теперь к оценке сингулярных и собственных чисел произведений двух операторов.
Основной в этом направлении является следующая теорема, обобщающая неравенство
(35) (см. лемму 5).
Теорема
8. Пусть
и
– линейные
операторы в
-мерном
унитарном пространстве. Пусть
и пусть
и
– сингулярные числа
операторов
и
соответственно,
занумерованные в порядке убывания; тогда для любого набора натуральных чисел
(115)
справедливы
неравенства
, (116)
. (116')
Доказательство
этой теоремы вполне аналогично доказательству теоремы 6.
Докажем
сначала неравенства (116'). На основании леммы 4 § 2 получаем:
(117)
для
любой системы векторов
. По данному набору натуральных чисел
(115) найдем на основании теоремы 5 такую цепочку подпространств, чтобы для
любой подчиненной ей системы векторов выполнялось неравенство
, (118)
после
чего на основании той же теоремы 5 найдем такую подчиненную, выбранной цепочке
систему векторов, чтобы
. (119)
Очевидно,
неравенство (116) уже следует из неравенств (117), (118) и (119).
Для
доказательства неравенства (116) следует повторить рассуждение применительно к
оператору
и
воспользоваться при этом тем фактом, что сингулярные числа у сопряженных
операторов равны [см. (82), стр. 251]. Теорема 8 доказана полностью.
Заметим
попутно, что сингулярные числа операторов
и
в общем случае не совпадают.
Отметим
еще следующий факт, вытекающий из теоремы 8:
Теорема
9. Пусть
и
– два
положительно определенных эрмитовых оператора с собственными числами
и
, занумерованными
в убывающем порядке, и пусть
(120)
–
собственные числа оператора
.
Тогда
для любого набора (115) выполняется неравенство
. (121)
Доказательство.
Так как оператор
невырожден, то
(122)
и,
следовательно, собственные числа (120) являются квадратами сингулярных чисел
оператора
.
Применяя
к произведению
неравенство
(116), получаем (121).