§ 10. Бесконечные ганкелевы матрицы конечного ранга
1.
Пусть дана последовательность комплексных чисел
Эта
последовательность чисел определяет бесконечную симметрическую матрицу
,
которую
называют обычно ганкелевой. Наряду с бесконечными ганкслевыми матрицами
рассматриваются конечные ганкелевы матрицы
и связанные с ними ганкелевы формы
.
Последовательные
главные миноры матрицы
будем обозначать
через
:
.
Бесконечные
матрицы могут быть конечного и бесконечного ранга. В последнем случае в этих
матрицах существуют отличные от нуля миноры сколь угодно большого порядка.
Следующая теорема дает необходимое и достаточное условие, которому должна
удовлетворять последовательность чисел
для того, чтобы порождаемая ею
бесконечная ганкелева матрица
имела конечный ранг.
Теорема
7. Бесконечная матрица
имеет конечный ранг
тогда и
только тогда, когда существует
чисел
таких, что
(53)
и
есть
наименьшее число, обладающее этим свойством.
Доказательство.
Если матрица
имеет
конечный ранг
,
то первые
строк
этой
матрицы линейно зависимы. Поэтому существует число
такое, что строки
линейно
независимы, а строка
есть линейная комбинация этих строк:
.
Рассмотрим
строки
,
где
– любое
целое неотрицательное число. Из структуры матрицы
непосредственно
видно, что строки
получаются из строк
«укорочением»,
отбрасыванием элементов, стоящих в первых
столбцах. Поэтому
.
Таким
образом, в матрице
любая строка,
начиная с
-й,
выражается линейно через
предыдущих и, следовательно,
выражается линейно через
линейно независимых первых строк.
Отсюда следует, что для матрицы
ранг
. Линейная зависимость
после замены
на
в
более подробной записи дает (53).
Обратно,
если выполняется условие (53), то в матрице
любая строка (столбец) является
линейной комбинацией первых
строк (столбцов). Поэтому все миноры
матрицы
,
порядок которых
,
равны нулю, и матрица
имеет конечный ранг
. Но этот ранг не
может быть
,
так как тогда, как было уже показано, имели бы место соотношения вида (53) при
меньшем значении
, а это противоречит условию 2).
Таким образом, теорема доказана полностью.
Следствие.
Если бесконечная ганкелева матрица
имеет конечный ранг
, то
.
Действительно,
из соотношений (53) следует, что любая строка (столбец) матрицы
есть линейная
комбинация первых
строк (столбцов). Поэтому любой
минор
-го
порядка матрицы
может
быть представлен в виде
, где
– некоторое число. Отсюда
следует неравенство
.
Примечание.
Для конечных ганкелевых матриц ранга
неравенство
может не иметь места. Так,
например, матрица
при
имеет ранг 1, в то время как
.
2.
Выясним замечательные взаимные связи между бесконечными ганкелевыми матрицами и
рациональным функциями.
Пусть
дана правильная рациональная дробная функция
,
где
Напишем
разложение
в
степенной ряд по отрицательным степеням
:
Если
все полюсы функции
, т. е. все значения z, при которых
обращается в бесконечность,
лежат в круге
,
то ряд, стоящий в правой части разложения, сходится при
. Обе части последнего
равенства помножим на знаменатель
:
.
Приравнивая
между собой коэффициенты при одинаковых степенях z в обеих частях этого тождества,
получим следующую систему соотношений:
(54)
(54’)
Полагая
,
мы
можем соотношения (54') записать в виде (53) (при
). Следовательно, согласно теореме 7
построенная при помощи коэффициентов
бесконечная ганкелева матрица
имеет
конечный ранг
.
Обратно,
если матрица
имеет
конечный ранг
,
то имеют место соотношения (53), которые могут быть переписаны в виде (54')
(при
).
Тогда, определяя числа
равенствами (54), будем иметь
разложение
(54”)
Наименьшая
степень знаменателя
, при которой имеет место это разложение,
совпадает с наименьшим числом
, при котором имеют место соотношения
(53). По теореме 7 это наименьшее значение
равно рангу матрицы
.
При
этом значении
рациональная
дробь, стоящая в левой части равенства (54”), является несократимой.
Таким
образом, нами доказана следующая теорема:
Теорема
8. Матрица
имеет
конечный ранг в том и только в том случае, когда сумма ряда
есть
рациональная функция переменной
. В этом случае ранг матрицы
совпадает с числом
полюсов функции
,
считая каждый полюс столько раз, какова его кратность.