§ 5. Теорема Ляпунова
Из исследований А. М. Ляпунова, опубликованных в
1892 г. в его монографии «Общая задача об устойчивости движения», вытекает
теорема, дающая необходимые и достаточные условия для того, чтобы все корни
характеристического уравнения 
вещественной матрицы 
имели
отрицательные вещественные части. Поскольку любой многочлен 
может быть
представлен в виде характеристического определителя 
,
то теорема Ляпунова носит общий характер и относится к любому алгебраическому
уравнению 
.
Пусть дана вещественная матрица и однородный многочлен 
-го измерения
относительно переменных 
Найдем полную производную по 
от функции 
в предположении,
что 
есть решение
дифференциальной системы 
.
Тогда
(21)
где 
- снова однородный многочлен -го измерения относительно . Равенство (21)
определяет линейный оператор
, относящий
каждому однородному многочлену -го измерения некоторый
однородный многочлен того
же измерения
.
Мы ограничимся случаем 
. В этом случае 
и 
- квадратичные
формы от переменных ,
связанные равенством
(22)
откуда
(23)
Здесь 
и
- симметрические
матрицы, составленные соответственно из коэффициентов форм и . Линейный
оператор в пространстве
симметрических матриц 
-го порядка 
целиком
определяется заданием матрицы .
Если 
- характеристические числа матрицы 
, то каждое
характеристическое число оператора
представляется
в виде 
.
Действительно, пусть
- собственный
вектор-столбец матрицы 
, соответствующий
характеристическому числу 
, т. е.
,
и пусть 
.
Тогда
(23')
Если все величины 
различны между
собой, то из равенств (23') следует, что эти величины образуют полную систему
характеристических чисел оператора
.
Общий случай, когда среди сумм имеются равные между собой,
получается из рассмотренного случая с помощью соображений непрерывности.
Из доказанного предложения следует, что оператор является
неособенным, матрица не имеет нулевых и двух противоположных
характеристических чисел. В этом случае задание матрицы 
- однозначно
определяет матрицы в
(23).
Таким образом, если матрица не
имеет нулевых и двух противоположных характеристических чисел, то каждой
квадратичной форме отвечает одна и только одна
квадратичная форма ,
связанная с равенством
(22).
Теперь сформулируем теорему Ляпунова.
Теорема 3 (Ляпунова). Если все характеристические
числа вещественной матрицы имеют отрицательные вещественные
части, то любой отрицательно определенной квадратичной форме отвечает
положительно определенная квадратичная форма ,
связанная с формой в силу уравнения
(24)
равенством
(25)
Обратно,
если для некоторой отрицательно определенной формы существует
положительно определенная форма ,
связанная с
равенством
(25) в силу уравнения (24), то все
характеристические числа матрицы имеют отрицательные вещественные
части.
Доказательство.
1. Пусть все характеристические числа матрицы
имеют
отрицательные вещественные части. Тогда для любого решения 
системы (24) имеем: 
. Пусть формы и связаны
формулой (25) и 
.
Допустим, что при некотором 
.
Но 
.
Поэтому при 
величина отрицательна и
убывает при 
,
что находится в противоречии с равенством 
. Следовательно, 
при 
, т. е. - положительно
определенная квадратичная форма.
2. Пусть, обратно, дано, что в равенстве (25)
, .
Из (25) следует:
(25')
Докажем, что при произвольном столбец как угодно близко
подходит к нулю при некоторых сколь угодно больших значениях .
Допустим противное. Тогда существует число 
такое, что
.
Но тогда из (25')
и, следовательно, при некоторых достаточно больших
значениях справедливо
неравенство 
,
что противоречит условию.
Из доказанного следует, что при некоторых достаточно
больших значениях величина 
будет как
угодно близка к нулю. Но монотонно
убывает при ,
поскольку .
Поэтому .
Отсюда вытекает, что при любом имеет место
равенство 
,
т. е. 
.
Это возможно лишь тогда, когда все характеристические числа матрицы имеют
отрицательные вещественные части (см. гл. V, § 6).
Теорема доказана полностью.
В качестве формы
в
теореме Ляпунова можно взять любую отрицательно определенную форму и, в
частности, форму 
. В этом случае теорема допускает
следующую матричную формулировку:
Теорема 3'.
Для
того чтобы все характеристические числа вещественной матрицы имели
отрицательные вещественные части, необходимо и достаточно, чтобы матричное
уравнение
(26)
имело в качестве
решения матрицу
коэффициентов некоторой положительно определенной квадратичной формы .
Из доказанной теоремы вытекает критерий для
определения устойчивости нелинейной системы по ее линейному приближению.
Пусть требуется доказать асимптотическую
устойчивость нулевого решения нелинейной системы дифференциальных уравнений (1)
(стр. 419) в том случае, когда коэффициенты
в
линейных членах правых частей уравнений образуют матрицу , имеющую только
характеристические числа с отрицательными вещественными частями. Тогда,
определяя положительно определенную форму
при
помощи матричного уравнения (26) и вычисляя ее полную производную по времени в
предположении, что 
есть
решение системы (1), будем иметь:
где 
- ряд, содержащий члены третьего и
более высоких измерений относительно
.
Поэтому в некоторой достаточно малой окрестности точки 
для любого одновременно
, 
Согласно общему критерию устойчивости Ляпунова это и
означает асимптотическую устойчивость нулевого решения системы дифференциальных
уравнений.
Если из матричного уравнения (26) выразить элементы
матрицы через элементы
матрицы и полученные
выражения подставить в неравенства
то мы получим неравенства, которым должны
удовлетворять элементы матрицы для того, чтобы все
характеристические числа матрицы имели отрицательные вещественные части.
Однако в значительно более простом виде эти неравенства могут быть получены из
критерия Рауса — Гурвица, которому посвящается следующий параграф.
Примечание. Теорема
Ляпунова (3) или (3') непосредственно обобщается на случаи произвольной комплексной
матрицы .
В этом случае квадратичные формы
и заменяются
эрмитовыми
, 
В соответствии с этим матричное уравнение (26)
заменится уравнением
.
