§ 5. Теорема Ляпунова
Из исследований А. М. Ляпунова, опубликованных в
1892 г. в его монографии «Общая задача об устойчивости движения», вытекает
теорема, дающая необходимые и достаточные условия для того, чтобы все корни
характеристического уравнения
вещественной матрицы
имели
отрицательные вещественные части. Поскольку любой многочлен
может быть
представлен в виде характеристического определителя
,
то теорема Ляпунова носит общий характер и относится к любому алгебраическому
уравнению
.
Пусть дана вещественная матрица
и однородный многочлен
-го измерения
относительно переменных
Найдем полную производную по
от функции
в предположении,
что
есть решение
дифференциальной системы
.
Тогда
(21)
где
- снова однородный многочлен
-го измерения относительно
. Равенство (21)
определяет линейный оператор
, относящий
каждому однородному многочлену
-го измерения
некоторый
однородный многочлен
того
же измерения
.
Мы ограничимся случаем
. В этом случае
и
- квадратичные
формы от переменных
,
связанные равенством
(22)
откуда
(23)
Здесь
и
- симметрические
матрицы, составленные соответственно из коэффициентов форм
и
. Линейный
оператор
в пространстве
симметрических матриц
-го порядка
целиком
определяется заданием матрицы
.
Если
- характеристические числа матрицы
, то каждое
характеристическое число оператора
представляется
в виде
.
Действительно, пусть
- собственный
вектор-столбец матрицы
, соответствующий
характеристическому числу
, т. е.
,
и пусть
.
Тогда
(23')
Если все величины
различны между
собой, то из равенств (23') следует, что эти величины образуют полную систему
характеристических чисел оператора
.
Общий случай, когда среди сумм
имеются равные между собой,
получается из рассмотренного случая с помощью соображений непрерывности.
Из доказанного предложения следует, что оператор
является
неособенным, матрица
не имеет нулевых и двух противоположных
характеристических чисел. В этом случае задание матрицы
- однозначно
определяет матрицы
в
(23).
Таким образом, если матрица
не
имеет нулевых и двух противоположных характеристических чисел, то каждой
квадратичной форме
отвечает одна и только одна
квадратичная форма
,
связанная с
равенством
(22).
Теперь сформулируем теорему Ляпунова.
Теорема 3 (Ляпунова). Если все характеристические
числа вещественной матрицы
имеют отрицательные вещественные
части, то любой отрицательно определенной квадратичной форме
отвечает
положительно определенная квадратичная форма
,
связанная с формой
в силу уравнения
(24)
равенством
(25)
Обратно,
если для некоторой отрицательно определенной формы
существует
положительно определенная форма
,
связанная с
равенством
(25) в силу уравнения (24), то все
характеристические числа матрицы
имеют отрицательные вещественные
части.
Доказательство.
1. Пусть все характеристические числа матрицы
имеют
отрицательные вещественные части. Тогда для любого решения
системы (24) имеем:
. Пусть формы
и
связаны
формулой (25) и
.
Допустим, что при некотором
.
Но
.
Поэтому при
величина
отрицательна и
убывает при
,
что находится в противоречии с равенством
. Следовательно,
при
, т. е.
- положительно
определенная квадратичная форма.
2. Пусть, обратно, дано, что в равенстве (25)
,
.
Из (25) следует:
(25')
Докажем, что при произвольном
столбец
как угодно близко
подходит к нулю при некоторых сколь угодно больших значениях
.
Допустим противное. Тогда существует число
такое, что
.
Но тогда из (25')
и, следовательно, при некоторых достаточно больших
значениях
справедливо
неравенство
,
что противоречит условию.
Из доказанного следует, что при некоторых достаточно
больших значениях
величина
будет как
угодно близка к нулю. Но
монотонно
убывает при
,
поскольку
.
Поэтому
.
Отсюда вытекает, что при любом
имеет место
равенство
,
т. е.
.
Это возможно лишь тогда, когда все характеристические числа матрицы
имеют
отрицательные вещественные части (см. гл. V, § 6).
Теорема доказана полностью.
В качестве формы
в
теореме Ляпунова можно взять любую отрицательно определенную форму и, в
частности, форму
. В этом случае теорема допускает
следующую матричную формулировку:
Теорема 3'.
Для
того чтобы все характеристические числа вещественной матрицы
имели
отрицательные вещественные части, необходимо и достаточно, чтобы матричное
уравнение
(26)
имело в качестве
решения
матрицу
коэффициентов некоторой положительно определенной квадратичной формы
.
Из доказанной теоремы вытекает критерий для
определения устойчивости нелинейной системы по ее линейному приближению.
Пусть требуется доказать асимптотическую
устойчивость нулевого решения нелинейной системы дифференциальных уравнений (1)
(стр. 419) в том случае, когда коэффициенты
в
линейных членах правых частей уравнений образуют матрицу
, имеющую только
характеристические числа с отрицательными вещественными частями. Тогда,
определяя положительно определенную форму
при
помощи матричного уравнения (26) и вычисляя ее полную производную по времени в
предположении, что
есть
решение системы (1), будем иметь:
где
- ряд, содержащий члены третьего и
более высоких измерений относительно
.
Поэтому в некоторой достаточно малой окрестности точки
для любого
одновременно
,
Согласно общему критерию устойчивости Ляпунова это и
означает асимптотическую устойчивость нулевого решения системы дифференциальных
уравнений.
Если из матричного уравнения (26) выразить элементы
матрицы
через элементы
матрицы
и полученные
выражения подставить в неравенства
то мы получим неравенства, которым должны
удовлетворять элементы матрицы
для того, чтобы все
характеристические числа матрицы имели отрицательные вещественные части.
Однако в значительно более простом виде эти неравенства могут быть получены из
критерия Рауса — Гурвица, которому посвящается следующий параграф.
Примечание. Теорема
Ляпунова (3) или (3') непосредственно обобщается на случаи произвольной комплексной
матрицы
.
В этом случае квадратичные формы
и
заменяются
эрмитовыми
,
В соответствии с этим матричное уравнение (26)
заменится уравнением
.