§ 6. Сингулярные пучки квадратичных форм
Пусть
даны две комплексные квадратичные формы:
,
(36)
они
порождают пучок квадратичных форм
. Этому пучку форм соответствует пучок
симметричных матриц
(
,
). Если
мы в пучке форм
переменные
подвергнем неособенному линейному преобразованию
,
то преобразованному пучку форм
будет соответствовать пучок матриц
(37)
здесь
- постоянная
(т. е. не зависящая от
) неособенная квадратная матрица
-гo порядка.
Два
пучка матриц
и
,
связанные тождеством (37), называются конгруэнтными (ср.
с определением 1 гл. X, стр. 269).
Очевидно,
что конгруэнтность представляет собой специальный частный случай строгой
эквивалентности пучков матриц. Однако в тех случаях, когда рассматривается
конгруэнтность двух лучков симметрических (или кососимметрических) матриц,
понятие конгруэнтности совпадает с понятием строгой эквивалентности. Это
утверждает
Теорема 6. Два строго
эквивалентных пучка комплексных симметрических (или кососимметрических) матриц
всегда конгруэнтны между собой
Доказательство. Пусть даны два
строго эквивалентных пучка симметрических (кососимметрических) матриц
и
:
(38)
Переходя к
транспонированным матрицам, получаем:
(39)
Из (38) и (39)
найдем:
(40)
Полагая
(41)
равенство (40)
перепишем так:
(42)
Из (42) легко
следует:
,
и вообще
(43)
где
(44)
a
- произвольный
многочлен относительно
. Допустим, что
этот многочлен так выбран, что
. Тогда из (43) найдем:
(45)
Подставляя
полученное выражение для
в (38), будем иметь:
(46)
Для
того чтобы это соотношение было преобразованием конгруэнтности, нужно, чтобы
выполнялось равенство
,
которое
может быть переписано так:
.
Но
матрица
удовлетворит этому уравнению,
если в качестве
взять
интерполяционный многочлен
па спектре матрицы
. Это возможно
сделать, поскольку многозначная функция
имеет однозначную ветвь, определенную
па спектре матрицы
, так как
.
После
этого равенство (46) станет условием конгруэнтности
(47)
Из
доказанной теоремы и из теоремы 5 вытекает
Следствие.
Два пучка квадратичных форм
и
могут
быть переведены друг в друга преобразованием
тогда и только тогда, когда пучки
симметрических матриц
и
имеют одни и те
же элементарные делители («конечные» и «бесконечные,») и одни и те же
минимальные индексы.
Примечание. Для пучка
симметрических матриц строки и столбцы имеют одни и те же минимальные индексы:
;
(48)
Поставим следующий вопрос. Даны две
произвольные комплексные квадратичные формы
,
При
каких условиях неособенным преобразованием переменных
можно
одновременно привести эти формы к суммам квадратов
и
(49)
Аналогичный
вопрос возникает для двух эрмитовых форм
и
, но в этом случае вместо (49) следует
писать
и
(50)
причем здесь
и
- вещественные
числа.
Допустим,
что квадратичные формы
и
обладают указанным свойством. Тогда
пучок матриц
будет конгруэнтен пучку диагональных матриц
(51)
Пусть
среди диагональных двучленов
имеется ровно
не равных
тождественно нулю. Не нарушая общности, можем считать, что
,
.
Полагая
мы
матрицу (51) представим в виде
(52)
Сопоставляя
(52) с (34) (стр. 343), мы видим, что в данном случае все минимальные индексы
равны нулю. Кроме того, все элементарные делители имеют первую степень. Мы
пришли к теореме
Теорема 7. Две квадратичные формы
и
одновременным
преобразованием переменных могут быть приведены к суммам квадратов
[(49) или (50)] в том и только в том случае, когда у
пучка матриц
все
элементарные делители (конечные и бесконечные) первой степени, а все
минимальные индексы равны нулю.
Для
того чтобы в общем случае одновременно
привести две квадратичные формы
и
к некоторому каноническому виду,
нужно заменить пучок матриц
строго эквивалентным
ему «каноническим» пучком симметрических матриц.
Пусть
пучок симметрических матриц
имеет минимальные
индексы
,
и элементарные делители
бесконечные
и
конечные
.
Тогда в канонической форме (30)
,
и
. Заменим в (30) каждые
два диагональных блока вида
и
одним диагональным блоком
, а каждый блок
вида
заменим
строго эквивалентным симметрическим блоком
(53)
Кроме
того, вместо регулярного диагонального блока
в (30) (
-
жорданова матрица)
(54)
возьмем строго
эквивалентный ему пучок
(55)
где
(56)
Пучок
строго
эквивалентен симметрическому пучку
(57)
Две
квадратичные формы с комплексными коэффициентами
и
преобразованием переменных
могут быть одновременно
приведены к каноническому виду
и
, определяемому
равенством (57).