ГЛАВА XVI. ПРОБЛЕМА РАУСА-ГУРВИЦА И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ
§ 1. Введение
В главе XII, § 2
мы выяснили, что согласно теореме Ляпунова нулевое решение системы
дифференциальных уравнений
,
(1)
[
- постоянные
коэффициенты] при любых членах
второго порядка и выше относительно
является
устойчивым, если все характеристические числа матрицы
, т.
е. все корни векового уравнения
, имеют отрицательные вещественные
части.
Поэтому задача установления необходимых и
достаточных условий, при которых все корни данного алгебраического уравнения
расположены в левой полуплоскости, имеет фундаментальное значение в ряде прикладных
областей, в которых исследуется устойчивость механических и электрических
систем.
Важность этой алгебраической задачи была ясна
основоположникам теории регулирования машин, английскому физику Д. К. Максвеллу
и русскому инженеру-исследователю И.
А,
Вышнеградскому, которые в своих работах, посвященных регуляторам, установили и
широко использовали упомянутые алгебраические условия для уравнений не выше
третьей степени.
В 1868 г. Максвелл выдвинул
математическую задачу об отыскании соответствующих условий для алгебраического
уравнения любой степени. Между тем эта задача по существу была решена в
опубликованной в 1856 г. работе французского математика Эрмита [128]. В этой
работе была установлена тесная связь между числом корней комплексного
многочлена
,
расположенных внутри какой-либо полуплоскости (или даже внутри какого-либо
прямоугольника), и сигнатурой некоторой квадратичной формы. Однако результаты
Эрмита не были доведены до такого состояния, чтобы они могли быть использованы
специалистами, работающими в прикладных областях. Поэтому эта работа Эрмита и
не получила соответствующего распространения.
В 1875 г. английский механик Раус [45], пользуясь
теоремой Штурма и теорией индексов Коши, установил алгоритм для определения
числа
корней
вещественного многочлена, расположенных в правой полуплоскости
. В частном случае
этот алгоритм и
дает критерий устойчивости.
В конце XIX в. крупнейший словацкий
инженер-исследователь, создатель теории паровых и газовых турбин, А. Стодола,
не зная работы Рауса, снова поставил задачу об отыскании условий того, чтобы
все корни алгебраического уравнения имели отрицательные вещественные части, и в
1895 г. А. Гурвиц [129], опираясь на работы Эрмита, дает второе (независимое от
Рауса) решение той же задачи. Полученные Гурвицем детерминантные неравенства
известны в настоящее время под названием условий Рауса-Гурвица.
Однако еще до появления в свет работы Гурвица
основатель современной теории устойчивости А. М. Ляпунов в своей знаменитой
диссертации («Общая задача об устойчивости движения», Харьков, 1892) установил
теорему, из которой вытекают необходимые и достаточные условия для того, чтобы
все корни характеристического уравнения вещественной матрицы
имели
отрицательные вещественные части. Эти условия используются в ряде работ по теории
регулирования.
Новый критерий устойчивости был установлен в 1914 г.
французскими математиками Льенаром и Шинаром [135].
Используя специальные квадратичные формы, эти авторы
получили критерий устойчивости, имеющий некоторые преимущества перед критерием
Рауса-Гурвица (число детерминантных неравенств в критерии Льенара-Шипара
примерно вдвое меньше, нежели в критерии Рауса-Гурвица).
Знаменитые русские математики П. Л. Чебышев и А. А.
Марков установили две замечательные теоремы в связи с разложением в ряды
непрерывных дробей специального типа. Эти теоремы, как будет показано в § 16,
имеют непосредственное отношение к проблеме Рауса-Гурвица.
В очерченном круге вопросов, как увидит читатель,
находят себе существенное применение теория квадратичных форм (гл. X) и, в частности,
теория ганкелевых форм (гл. X, § 10).