§ 4. Положительные квадратичные формы
В
этом параграфе мы остановимся на специальном, но важном классе положительных
квадратичных форм.
Определение
3. Вещественная квадратичная форма
называется неотрицательной
(неположительной), если при любых вещественных значениях переменных
. (35)
В
этом случае симметрическая матрица коэффициентов
называется положительно
полуопределенной (отрицательно полуопределенной).
Определение
4. Вещественная квадратичная форма
называется положительно определенной
(отрицательно определенной), если при любых не равных одновременно нулю
вещественных значениях переменных
. (36)
В
этом случае матрица
также называется положительно
определенной (отрицательно определенной).
Класс
положительно определенных (отрицательно определенных) форм является частью
класса неотрицательных (соответственно неположительных) форм.
Пусть
дана неотрицательная форма
. Представим ее в виде суммы
независимых квадратов:
. (37)
В
этом представлении все квадраты должны быть положительными:
. (38)
Действительно,
если бы какое-либо
было
, то можно было бы подобрать такие
значения
,
при которых
.
Но
тогда при этих значениях переменных форма
имела бы отрицательное значение, что
по условию невозможно. Очевидно, что и обратно, из (37) и (38) следует
положительность формы
.
Таким
образом, неотрицательная квадратичная форма характеризуется равенствами
.
Пусть
теперь
–
положительно определенная форма. Тогда
и неотрицательная форма. Поэтому она
представима в виде (37), где все
положительны. Из положительной
определенности формы следует, что
. Действительно, в случае
можно подобрать
такие не равные одновременно нулю значения
, при которых все
обращались бы в нуль. Но
тогда в силу (37)
при
, что противоречит условию (36).
Легко
видеть, что и обратно, если в (37)
и все
положительны, то
– положительно определенная
форма.
Другими
словами, неотрицательная форма тогда и только тогда является положительно определенной,
когда она не сингулярна.
Следующая
теорема дает критерий положительной определенности формы в виде неравенств,
которым должны удовлетворять коэффициенты формы. При этом используются уже
встречавшиеся в предыдущих параграфах обозначения для последовательных главных
миноров матрицы
:
.
Теорема
3. Для того чтобы квадратичная форма была положительно определенной, необходимо
и достаточно, чтобы выполнялись неравенства
. (39)
Доказательство.
Достаточность условий (39) следует непосредственно из формулы Якоби (28).
Необходимость условий (39) устанавливается следующим образом. Из положительной
определенности формы
следует положительная определенность
«урезанных» форм
.
Но
тогда все эти формы должны быть несингулярны, т. е.
.
Теперь
мы имеем возможность воспользоваться формулой Якоби (28) (при
). Поскольку в
правой части этой формулы все квадраты должны быть положительными, то
.
Отсюда
следуют неравенства (39). Теорема доказана.
Поскольку
любой главный минор матрицы
при надлежащей перенумерации
переменных можно поместить в левый верхний угол, то имеет место
Следствие.
В положительно определенной квадратичной форме
все главные миноры матрицы
коэффициентов положительны:
. (40)
Замечание.
Из неотрицательности последовательных главных миноров
не
следует неотрицательность формы
. Действительно, форма
,
в
которой
,
удовлетворяет условиям
, но не является неотрицательной.
Однако
имеет место следующая
Теорема
4. Для того чтобы квадратичная форма
была неотрицательной, необходимо и
достаточно, чтобы все главные миноры ее матрицы коэффициентов были
неотрицательны:
.
Доказательство.
Введем вспомогательную форму
.
Очевидно,
.
Из
неотрицательности формы
следует положительная определенность
формы
и,
следовательно, неравенства (см. следствие из теоремы 3)
.
Переходя
к пределу при
,
получаем условия (40).
Пусть,
наоборот, даны условия (40). Из этих условий следует:
.
Но
тогда (согласно теореме 3)
– положительно определенная форма
.
Переходя
к пределу при
,
получаем отсюда:
.
Теорема
доказана.
Условия
неположительности и отрицательной определенности формы получаются
соответственно из неравенств (39) и (40), если эти неравенства применить к
форме
.
Теорема
5. Для того чтобы квадратичная форма
была отрицательно определенной,
необходимо и достаточно, чтобы имели место неравенства
. (39')
Теорема
6. Для того чтобы квадратичная форма
была неположительной, необходимо и
достаточно, чтобы имели место неравенства
. (40')