Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 10. Ганкелевы формы
Пусть даны
Квадратичная форма (134) называется
ганкелевой. Соответствующая ей симметрическая матрица
Последовательные
главные миноры матрицы
В настоящем параграфе мы установим основные результаты Фробениуса относительно ранга и сигнатуры вещественных ганкелевых форм. Предварительно докажем две леммы. Лемма 1. Если в
ганкелевой матрице
Доказательство. Обозначим через
или
Выпишем
матрицу, состоящую из первых
Эта матрица имеет ранг
Лемма доказана. Лемма
2.
Если для
матрицы
и
то
матрица
Доказательство. Введем в рассмотрение матрицы
В
этих обозначениях Мы
докажем, что любая из матриц Для матрицы
Допустим,
что наше утверждение справедливо для матрицы
При этом
С другой стороны, пользуясь детерминантным тождеством Сильвестра, найдем:
Из сопоставления (139) с (140) получаем:
Далее из (138):
На основании предыдущей леммы из (137)
следует, что
Пусть
Но в силу допущения индукции имеет место
(141), и поскольку в (144) Таким образом, Лемма доказана. Пользуясь леммой 2, докажем следующую теорему: Теорема 23. Если ганкелева матраца
то
главный минор
Доказательство. На основании предыдущей леммы матрица
есть ганкелева матрица, в которой все элементы над второй диагональю равны нулю. Поэтому
С другой стороны
Матрица
Но тогда в силу тождества Сильвестра
что и требовалось доказать. Рассмотрим вещественную ганкелеву форму
ранга
Согласно теореме Якоби эти величины могут быть определены из рассмотрения знаков последовательных миноров
при помощи формул
Эти формулы становятся неприменимыми в случае, когда последний член в ряду (145) либо три подряд идущих промежуточных члена равны нулю (см. § 3). Однако для ганкелевой формы, как показал Фробениус, можно дать правило, позволяющее использовать формулы (146) в самом общем случае: Теорема 24 (Фробениуса). Для вещественной ганкелевой формы
ранга
1) при
заменить в этих
формулах
2) в любой группе
из
нулевым определителям приписать знаки по формуле
При этом величины
Доказательство. Рассмотрим
сначала случай, когда
имеют
не только один и тот же ранг
где Проварьируем непрерывно параметры
были отличны от нуля и чтобы в процессе варьирования ни один из отличных от нуля определителей (145) не обратился в нуль. Так как при варьировании не изменялся
ранг формы
Если
при некотором
Поэтому весь вопрос сводится к определению
перемен знака между теми
Для этого положим
Согласно лемме 2 матрица
ганкелева и все элементы ее, стоящие над
второй диагональю, равны нулю, т. е. матрица
Обозначим последовательные миноры
матрицы
Наряду
с матрицей
где
и соответственные определители
Согласно детерминантному тождеству Сильвестра
Поэтому
где Наряду
с формой
Матрица Так как формы
Но
Так как каждое произведение вида
С другой стороны, из (152):
Из (153), (154), (155) и (156) следует:
где
Так как
то из (157) и (158) вытекает таблица (150). Пусть теперь
В этом случае согласно теореме 23
Рассматриваемый
случай сводится к предыдущему перенумерацией переменных в квадратичной форме
При этом Исходя из структуры матрицы
найдем, что ряд Таким образом, показано, что во всех случаях можно пользоваться таблицей (150). Заметим, что при
Пользуясь этим равенством, читатель легко проверит, что таблице (150) соответствует то приписывание знаков нулевым определителям, которое дается формулой (149). Теорема доказана полностью. Примечание. При
|
1 |
Оглавление
|