§ 10. Ганкелевы формы

Пусть даны чисел . При помощи этих чисел составим квадратичную форму от переменных

(134)

Квадратичная форма (134) называется ганкелевой. Соответствующая ей симметрическая матрица также называется ганкелевой. Эта матрица имеет вид

Последовательные главные миноры матрицы будем обозначать через :

().

В настоящем параграфе мы установим основные результаты Фробениуса относительно ранга и сигнатуры вещественных ганкелевых форм.

Предварительно докажем две леммы.

Лемма 1. Если в ганкелевой матрице первые строк линейно независимы, а первые строк линейно зависимы, то

Доказательство. Обозначим через первые строк матрицы . По условию теоремы строки линейно независимы, а строка линейно выражается через эти строки:

или

() (135)

Выпишем матрицу, состоящую из первых строк матрицы :

. (136)

Эта матрица имеет ранг . С другой стороны, в силу (135) любой столбец этой матрицы выражается линейно через предыдущих столбцов. Следовательно, любой столбец матрицы выражается линейно через первых столбцов. Но тогда, поскольку ранг матрицы (136) равен , эти первые столбцов матрицы (136) должны быть линейно независимы, т. е.

Лемма доказана.

Лемма 2. Если для матрицы при некотором

, (137)

() (138)

то матрица также ганкелева и все ее элементы, расположенные над второй диагональю, равны нулю, т. е. существуют такие , что

(; ).

Доказательство. Введем в рассмотрение матрицы

().

В этих обозначениях .

Мы докажем, что любая из матриц () является ганкелевой и что в ней при . Доказательство будем вести индуктивно относительно .

Для матрицы наше утверждение тривиально, для матрицы оно очевидно, так как

, (в силу симметрии ) и .

Допустим, что наше утверждение справедливо для матрицы и докажем его справедливость для матрицы . Из допущения следует существование таких чисел , что при

При этом

(139)

С другой стороны, пользуясь детерминантным тождеством Сильвестра, найдем:

(140)

Из сопоставления (139) с (140) получаем:

Далее из (138):

(142)

На основании предыдущей леммы из (137) следует, что -я строка матрицы линейно зависит от первых строк:

(). (143)

Пусть . При этом одно из чисел и меньше . Не нарушая общности рассуждений, примем, что . Тогда, разлагая с помощью (143) последний столбец в определителе, стоящем в правой части равенства (142), и снова используя соотношения (142), будем иметь

(144)

Но в силу допущения индукции имеет место (141), и поскольку в (144) , и , то . Следовательно, при все , а при величина в силу (144) зависит только от .

Таким образом, - ганкелева матрица и в этой матрице все элементы , стоящие над второй диагональю, равны нулю.

Лемма доказана.

Пользуясь леммой 2, докажем следующую теорему:

Теорема 23. Если ганкелева матраца имеет ранг и при некотором

то главный минор -го порядка, образованный первыми и последними линиями матрицы , не равен нулю:

Доказательство. На основании предыдущей леммы матрица

есть ганкелева матрица, в которой все элементы над второй диагональю равны нулю. Поэтому

С другой стороны . Следовательно, , и матрица имеет вид

Матрица должна иметь ранг . Поэтому при в матрице элементы и матрица всегда имеет вид

Но тогда в силу тождества Сильвестра

что и требовалось доказать.

Рассмотрим вещественную ганкелеву форму

ранга . Обозначим через , , соответственно число положительных квадратов, число отрицательных квадратов и сигнатуру этой формы:

Согласно теореме Якоби эти величины могут быть определены из рассмотрения знаков последовательных миноров

, (145)

при помощи формул

(146)

Эти формулы становятся неприменимыми в случае, когда последний член в ряду (145) либо три подряд идущих промежуточных члена равны нулю (см. § 3). Однако для ганкелевой формы, как показал Фробениус, можно дать правило, позволяющее использовать формулы (146) в самом общем случае:

Теорема 24 (Фробениуса). Для вещественной ганкелевой формы

ранга величины , , могут быть определены из формул (146), если

1) при

, (147)

заменить в этих формулах на , где

2) в любой группе из промежуточных нулевых определителей

(148)

нулевым определителям приписать знаки по формуле

(149)

При этом величины , , , соответствующие группе (148), получат значения

(150)

Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда . В этом случае формы

имеют не только один и тот же ранг , но и одну и ту же сигнатуру . Действительно, пусть

где - вещественные линейные формы, а . Положим . Тогда формы , перейдут соответственно в , , причем , т.е имеет такое же число положительных (отрицательных) независимых квадратов, как и форма . Таким образом, есть сигнатура формы .

Проварьируем непрерывно параметры так, чтобы при новых значениях параметров все члены ряда

(; )

были отличны от нуля и чтобы в процессе варьирования ни один из отличных от нуля определителей (145) не обратился в нуль.

Так как при варьировании не изменялся ранг формы , то не изменялась и ее сигнатура. Поэтому

(151)

Если при некотором , то

Поэтому весь вопрос сводится к определению перемен знака между теми , которым соответствуют . Точнее, для каждой группы вида (148) требуется определить

Для этого положим

Согласно лемме 2 матрица

ганкелева и все элементы ее, стоящие над второй диагональю, равны нулю, т. е. матрица имеет вид

(152)

Обозначим последовательные миноры матрицы через :

Наряду с матрицей введем в рассмотрение матрицу

где

и соответственные определители

()

Согласно детерминантному тождеству Сильвестра

()

Поэтому

(153)

где - сигнатура формы.

Наряду с формой рассмотрим формы

Матрица получается из матрицы [см. (152)], если в последней заменить нулями все элементы, стоящие под второй диагональю. Сигнатуры форм и обозначим соответственно через и .

Так как формы и получаются из формы таким варьированием коэффициентов, в процессе которого ранг формы не меняется (, ), то и сигнатуры форм , и должны быть одинаковы:

(154)

Но

Так как каждое произведение вида при можно заменить разностью квадратов и таким образом получить разложение независимые вещественные квадраты, то

(155)

С другой стороны, из (152):

(156)

Из (153), (154), (155) и (156) следует:

(157)

где

Так как

(158)

то из (157) и (158) вытекает таблица (150).

Пусть теперь . Тогда при некотором

В этом случае согласно теореме 23

Рассматриваемый случай сводится к предыдущему перенумерацией переменных в квадратичной форме . Полагаем:

, (159)

При этом .

Исходя из структуры матрицы и пользуясь полученными из детерминантного тождества Сильвестра соотношениями

, ,

найдем, что ряд получается из ряда заменой одного элемента на .

Таким образом, показано, что во всех случаях можно пользоваться таблицей (150).

Заметим, что при нечетном [- число нулевых определителей в группе (148)] из формулы (156) следует:

(160)

Пользуясь этим равенством, читатель легко проверит, что таблице (150) соответствует то приписывание знаков нулевым определителям, которое дается формулой (149).

Теорема доказана полностью.

Примечание. При из формулы (160) следует: . Поэтому имеет место правило Гундельфингера, т. е. при подсчете можно опустить. При из таблицы (150) вытекает правило Фробениуса.