§ 12. Полярное разложение линейного оператора в унитарном пространстве. Формулы Кэли

Докажем следующую теорему:

Теорема 8. Произвольный линейный оператор в унитарном пространстве всегда представим в виде

, (78)

, (79)

где – неотрицательные эрмитовы, a – унитарные операторы. Оператор нормален тогда и только тогда, когда в разложении (78) [или в (79)] множители и (соответственно и ) перестановочны между собой.

Доказательство. Из разложений (78) и (79) следует, что и являются соответственно левым и правым модулями оператора .

Действительно,

Заметим, что достаточно установить разложение (78), так как, применяя это разложение к оператору , получим и, следовательно,

т. е. разложение (79) для оператора .

Установим сначала разложение (78) для частного случая, когда – неособенный оператор . Полагаем:

(при этом ),

и проверяем унитарность оператора :

Заметим, что в рассматриваемом случае в разложении (78) не только первый множитель , но и второй однозначно определяются заданием неособенного оператора .

Рассмотрим теперь общий случай, когда может быть и особенным оператором. Заметим прежде всего, что полная ортонормированная система собственных векторов оператора всегда преобразуется оператором снова в ортогональную же систему векторов. Действительно, пусть

Тогда

При этом

Поэтому существует такая ортонормированная система векторов , что

. (80)

Определим линейные операторы и равенствами

. (81)

Из (80) и (81) находим

При этом в силу (81) – неотрицательный эрмитов оператор, поскольку он имеет полную ортонормированную систему собственных векторов и неотрицательные характеристические числа , a – унитарный оператор, ибо он переводит ортонормированную систему векторов снова в ортонормированную .

Таким образом, можно считать доказанным, что для произвольного линейного оператора имеют место разложения (78) и (79), причем эрмитовы множители и всегда однозначно определяются заданием оператора (они суть соответственно левый и правый модули оператора ), а унитарные множители и определяются однозначно лишь в случае неособенного .

Из (78) легко находим

. (82)

Если – нормальный оператор , то из (82) вытекает:

. (83)

Поскольку (см. § 11), то из (83) следует перестановочность с . Обратно, если и перестановочны между собой, то из (82) вытекает, что – нормальный оператор. Теорема доказана.

Вряд ли необходимо особо отмечать то, что наряду с операторными равенствами (78) и (79) имеют место соответствующие матричные равенства.

Характеристические числа оператора (которые в силу (82) являются также характеристическими числами оператора ), называют иногда сингулярными числами оператора .

Разложения (78) и (79) являются аналогом представления комплексного числа в виде , где , а .

Пусть теперь – полная ортонормированная система собственных векторов произвольного унитарного оператора . Тогда

, (84)

где – вещественные числа. Определим эрмитов оператор равенствами

. (85)

Тогда

. (85')

Из (84) и (85) следует

. (86)

Таким образом, унитарный оператор всегда представим в виде (86), где – эрмитов оператор. Обратно, если – эрмитов оператор, то – унитарный оператор.

Разложения (78) и (79) вместе с (86) дают следующие равенства:

, (87)

, (88)

где – эрмитовы операторы и притом и неотрицательны.

Разложения (87) и (88) являются аналогом представления комплексного числа в виде , где и – вещественные числа.

Замечание. В равенстве (86) оператор не определяется однозначно заданием оператора . Действительно, оператор определяется при помощи чисел , а к каждому из этих чисел можно прибавить произвольную кратность , не изменяя исходных равенств (84). Выбирая надлежащим образом эти слагаемые, кратные , мы можем достичь того, чтобы из всегда следовало: . Тогда можно определить интерполяционный многочлен равенствами

. (89)

Из (84), (85) и (89) будет следовать:

. (90)

Совершенно аналогично можно нормировать выбор так, чтобы

, (91)

где – некоторый многочлен.

В силу (90) и (91) перестановочность и ( и ) влечет перестановочность и (соответственно и ) и наоборот. Поэтому согласно теореме 8 оператор будет нормальным тогда и только тогда, когда в формуле (87) и (или в формуле (88) и ) перестановочны между собой, если только характеристические числа оператора (соответственно ) надлежащим образом нормированы.

В основе формулы (86) лежит тот факт, что функциональная зависимость

(92)

переводит произвольных чисел на вещественной оси в некоторые числа , лежащие на окружности , и наоборот.

Трансцендентную зависимость (92) можно заменить рациональной зависимостью

, (93)

которая переводит вещественную ось в окружность ; при этом бесконечно удаленная точка на вещественной оси переходит в точку . Из (93) находим:

. (94)

Повторяя рассуждения, которые привели нас к формуле (86), мы из (93) и (94) получим две взаимно обратные формулы:

(95)

Мы получили формулы Кэли. Эти формулы устанавливают взаимно однозначное соответствие между произвольными эрмитовыми операторами и теми унитарными операторами , у которых среди характеристических чисел нет .

Формулы (86), (87), (88) и (95), конечно, будут верны и тогда, когда мы в них все операторы заменим соответствующими матрицами.

Пользуясь полярным разложением матрицы ранга :

(96)

и формулой (71)

, (97)

можно произвольную квадратную матрицу ранга представить в виде произведения

, (98)

где и – унитарные матрицы , а – диагональная матрица

, (98')

в которой диагональные элементы являются характеристическими числами правого модуля (а следовательно, и левого модуля ) матрицы .

Формулу (98) можно записать в виде

, (99)

где и – -матрицы, образованные первыми столбцами унитарных матриц и , а – диагональная матрица -го порядка:

. (100)

Пусть теперь – произвольная прямоугольная -матрица ранга . Примем сначала, что . Дополним матрицу нулевыми строками до квадратной матрицы , после чего применим формулу

. (101)

Представим -матрицу в виде

Тогда из равенства (101) найдем:

(102)

. (103)

Умножим обе части этого равенства справа на . Тогда, поскольку , получим: , т.е. . Но тогда столбцы матрицы , как и столбцы матрицы , унитарно-ортогональны между собой и нормированы.

Случай сводится к случаю , если применить сначала формулу к матрице , а затем из полученного равенства определить матрицу . Мы установили следующую теорему:

Теорема 9. Произвольная прямоугольная -матрица ранга всегда представима в виде произведения

, (104)

где и – унитарные по отношению к столбцам прямоугольные матрицы соответственно размеров и , а – диагональная матрица -го порядка с положительными диагональными элементами .

Полагая , мы приходим к установленному в главе I (стр. 32) разложению

, (105)

где матрицы и имеют соответствующие размеры и . Однако доказанная теорема дает уточнение этого разложения. Она утверждает, что множители и могут быть выбраны так, чтобы в матрице все столбцы, а в матрице все строки были унитарно-ортогональны между собой.