§ 12. Полярное разложение линейного оператора в унитарном пространстве. Формулы Кэли

Докажем следующую теорему:

Теорема 8. Произвольный линейный оператор  в унитарном пространстве всегда представим в виде

,                   (78)

,                  (79)

где  – неотрицательные эрмитовы, a  – унитарные операторы. Оператор  нормален тогда и только тогда, когда в разложении (78) [или в (79)] множители  и  (соответственно  и ) перестановочны между собой.

Доказательство. Из разложений (78) и (79) следует, что  и  являются соответственно левым и правым модулями оператора .

Действительно,

.

Заметим, что достаточно установить разложение (78), так как, применяя это разложение к оператору , получим  и, следовательно,

,

т. е. разложение (79) для оператора .

Установим сначала разложение (78) для частного случая, когда  – неособенный оператор . Полагаем:

 (при этом ),

и проверяем унитарность оператора :

.

Заметим, что в рассматриваемом случае в разложении (78) не только первый множитель , но и второй  однозначно определяются заданием неособенного оператора .

Рассмотрим теперь общий случай, когда  может быть и особенным оператором. Заметим прежде всего, что полная ортонормированная система собственных векторов оператора  всегда преобразуется оператором  снова в ортогональную же систему векторов. Действительно, пусть

.

Тогда

.

При этом

.

Поэтому существует такая ортонормированная система векторов , что

.                       (80)

Определим линейные операторы  и  равенствами

.              (81)

Из (80) и (81) находим

.

При этом в силу (81)  – неотрицательный эрмитов оператор, поскольку он имеет полную ортонормированную систему собственных векторов  и неотрицательные характеристические числа , a  – унитарный оператор, ибо он переводит ортонормированную систему векторов  снова в ортонормированную .

Таким образом, можно считать доказанным, что для произвольного линейного оператора  имеют место разложения (78) и (79), причем эрмитовы множители  и  всегда однозначно определяются заданием оператора  (они суть соответственно левый и правый модули оператора ), а унитарные множители  и  определяются однозначно лишь в случае неособенного .

Из (78) легко находим

.                  (82)

Если  – нормальный оператор , то из (82) вытекает:

.             (83)

Поскольку  (см. § 11), то из (83) следует перестановочность  с . Обратно, если  и  перестановочны между собой, то из (82) вытекает, что  – нормальный оператор. Теорема доказана.

Вряд ли необходимо особо отмечать то, что наряду с операторными равенствами (78) и (79) имеют место соответствующие матричные равенства.

Характеристические числа оператора  (которые в силу (82) являются также характеристическими числами оператора ), называют иногда сингулярными числами оператора .

Разложения (78) и (79) являются аналогом представления комплексного числа  в виде , где , а .

Пусть теперь  – полная ортонормированная система собственных векторов произвольного унитарного оператора . Тогда

,                   (84)

где   – вещественные числа. Определим эрмитов оператор  равенствами

.                      (85)

Тогда

.              (85')

Из (84) и (85) следует

.                     (86)

Таким образом, унитарный оператор  всегда представим в виде (86), где  – эрмитов оператор. Обратно, если  – эрмитов оператор, то  – унитарный оператор.

Разложения (78) и (79) вместе с (86) дают следующие равенства:

,                  (87)

,                (88)

где  – эрмитовы операторы и притом  и  неотрицательны.

Разложения (87) и (88) являются аналогом представления комплексного числа  в виде , где  и  – вещественные числа.

Замечание. В равенстве (86) оператор  не определяется однозначно заданием оператора . Действительно, оператор  определяется при помощи чисел  , а к каждому из этих чисел можно прибавить произвольную кратность , не изменяя исходных равенств (84). Выбирая надлежащим образом эти слагаемые, кратные , мы можем достичь того, чтобы из  всегда следовало:  . Тогда можно определить интерполяционный многочлен  равенствами

.                      (89)

Из (84), (85) и (89) будет следовать:

.             (90)

Совершенно аналогично можно нормировать выбор  так, чтобы

,            (91)

где  – некоторый многочлен.

В силу (90) и (91) перестановочность  и  ( и ) влечет перестановочность  и  (соответственно  и ) и наоборот. Поэтому согласно теореме 8 оператор  будет нормальным тогда и только тогда, когда в формуле (87)  и  (или в формуле (88)  и ) перестановочны между собой, если только характеристические числа оператора  (соответственно ) надлежащим образом нормированы.

В основе формулы (86) лежит тот факт, что функциональная зависимость

                       (92)

переводит  произвольных чисел на вещественной оси  в некоторые числа , лежащие на окружности , и наоборот.

Трансцендентную зависимость (92) можно заменить рациональной зависимостью

,                  (93)

которая переводит вещественную ось  в окружность ; при этом бесконечно удаленная точка на вещественной оси переходит в точку . Из (93) находим:

.                 (94)

Повторяя рассуждения, которые привели нас к формуле (86), мы из (93) и (94) получим две взаимно обратные формулы:

                (95)

Мы получили формулы Кэли. Эти формулы устанавливают взаимно однозначное соответствие между произвольными эрмитовыми операторами  и теми унитарными операторами , у которых среди характеристических чисел нет .

Формулы (86), (87), (88) и (95), конечно, будут верны и тогда, когда мы в них все операторы заменим соответствующими матрицами.

Пользуясь полярным разложением матрицы  ранга :

                    (96)

и формулой (71)

,                  (97)

можно произвольную квадратную матрицу  ранга  представить в виде произведения

,                  (98)

где  и  – унитарные матрицы , а  – диагональная матрица

,               (98')

в которой диагональные элементы являются характеристическими числами правого модуля  (а следовательно, и левого модуля ) матрицы .

Формулу (98) можно записать в виде

,                 (99)

где  и  – -матрицы, образованные первыми  столбцами унитарных матриц  и , а  – диагональная матрица -го порядка:

.               (100)

Пусть теперь  – произвольная прямоугольная -матрица ранга . Примем сначала, что . Дополним матрицу  нулевыми строками до квадратной матрицы , после чего применим формулу

.                (101)

Представим -матрицу  в виде

Тогда из равенства (101) найдем:

                  (102)

и

.                 (103)

Умножим обе части этого равенства справа на . Тогда, поскольку , получим: , т.е. . Но тогда столбцы матрицы , как и столбцы матрицы , унитарно-ортогональны между собой и нормированы.

Случай  сводится к случаю , если применить сначала формулу к матрице , а затем из полученного равенства определить матрицу . Мы установили следующую теорему:

Теорема 9. Произвольная прямоугольная -матрица ранга  всегда представима в виде произведения

,                 (104)

где  и  – унитарные по отношению к столбцам прямоугольные матрицы соответственно размеров  и , а  – диагональная матрица -го порядка с положительными диагональными элементами .

Полагая , мы приходим к установленному в главе I (стр. 32) разложению

,                     (105)

где матрицы  и  имеют соответствующие размеры  и . Однако доказанная теорема дает уточнение этого разложения. Она утверждает, что множители  и  могут быть выбраны так, чтобы в матрице  все столбцы, а в матрице  все строки были унитарно-ортогональны между собой.