§ 3. Разложимые матрицы

1. Установленные в предыдущем параграфе спектральные свойства неразложимых неотрицательных матриц не сохраняются при переходе к разложимым матрицам. Однако, поскольку произвольная неотрицательная матрица  всегда может быть представлена как предел последовательности неразложимых и даже положительных матриц

 (, ),                      (42)

то некоторые из спектральных свойств неразложимых матриц в ослабленной форме имеют место и для разложимых матриц.

Для произвольной неотрицательной матрицы  мы докажем •следующую теорему:

Теорема 3. Неотрицательная матрица  всегда имеет неотрицательное характеристическое число  такое, что модули всех характеристических чисел матрицы  не превосходят . Этому «максимальному» характеристическому числу  соответствует неотрицательный собственный вектор

 (, ).

Доказательство. Пусть для матрицы  имеет место представление (42). Обозначим через  и  максимальное характеристическое число положительной матрицы  и соответствующий этому числу нормированный положительный собственный вектор:

 [, , ]   (43)

Тогда из (42) следует, что существует предел

,

где  - характеристическое число матрицы . Из того, что  и , где  - любое характеристическое число матрицы  , предельным переходом получаем:

, ,                                                     (44)

где  - любое характеристическое число матрицы . Этот же предельный переход дает нам вместо (35)

                                                              (45)

Далее, из последовательности нормированных собственных векторов   можно выделить подпоследовательность  , сходящуюся к некоторому нормированному (и, следовательно, не равному нулю) вектору . Перейдем к пределу в обеих частях равенства (43), давая  последовательность значений  . Мы получим:

 (, ).

Теорема доказана.

Замечание. При предельном переходе (42) неравенства (37) сохраняются. Поэтому эти неравенства имеют место для произвольной неотрицательной матрицы. Однако условие, при котором в (37) имеет место знак равенства, для разложимой матрицы уже неверно.

2. Установим ряд важных предложений для матриц с неотрицательными элементами:

1° Если  - неотрицательная матрица с максимальным характеристическим числом , то

,  при   (46)

Действительно, при  справедливо разложение

                                    (47)

и, следовательно,

                   (48)

2° Если  - неотрицательная матрица с максимальным характеристическим телом , а  и  - ее присоединенная и приведенная присоединенная матрицы, то

,  при .                         (49)

Поскольку ,  и

,  при ,                         (50)

то из первого неравенства (46) сразу вытекают соотношения (49).

3° Если  - неразложимая матрица с максимальным характеристическим числом , то

,  при   (51)

,  при                          (52)

Действительно, согласно следствию из леммы 1 (стр. 354), в случае неразложимой матрицы  в соотношениях (47) и (48) можно знак равенства отбросить. Тогда и ,  при . Но, как было показано в § 2, для неразложимой матрицы , . Следовательно, справедливы неравенства (52).

4° Максимальное характеристическое число  любого главного минора (порядка ) неотрицательной матрицы  не превосходит максимального характеристического числа  матрицы :

                                                                   (53)

Если для главного минора -го порядка , то для характеристического определителя  имеем неравенство

 при                                      (54)

Если  - неразложимая матрица, то в (53) всегда знак равенства отпадает.

Если  -  разложимая матрица, то по крайней мере для одного гласного минора имеет место в (53) знак равенства.

Действительно, пусть для конкретности  - максимальное характеристическое число матрицы , имеющей характеристический многочлен . Тогда  и в случае неразложимой матрицы  согласно (52)  при . Следовательно, . Отсюда в случае разложимой матрицы предельным переходом получаем неравенство (53).

Пусть . Тогда, разлагая определитель  по элементам последней строки и последнего столбца, получаем:

,      (55)

где  - алгебраическое дополнение элемента  в определителе  . Разделим, обе части тождества (55) на :

     (56)

Используя второе неравенство (46) для матрицы , замечаем, что при  первый член  в правой части (56) монотонно возрастает, а второй – не убывает. Следовательно, отношение  монотонно возрастает при . Но тогда это отношение отрицательно при , поскольку . Но  при . Следовательно, имеет место неравенство (54).

Мы установили справедливость неравенства (53) для миноров -го порядка. Постепенным переходом от  к , от  к  и т. д. мы докажем справедливость неравенства (53) (без знака = в случае неразложимой матрицы) для главного минора любого порядка.

Если  -  разложимая матрица, то перестановкой рядов она может быть представлена в виде

Тогда число  должно быть характеристическим числом одного из двух главных миноров  и . Предложение 4° доказано.

Из 4° вытекает

5° Если  и в характеристическом определителе

какой-либо из главных миноров обращается в нуль (матрица  разложима!), то обращается в нуль любой «объемлющий» главный минор и, в частности, один из главных миноров -го порядка

.

Из 4° и 5° следует:

6° Матрица  является разложимой в том и только в том случае, когда в одном из соотношений

имеет место знак равенства.

Из 4° вытекает также

7° Если  - максимальное характеристическое число матрицы , то при любом  все главные миноры характеристической матрицы  положительны:

 (, , )    (57)

Нетрудно видеть, что, и обратно, из неравенств (57) следует: . Действительно,

где  - сумма всех главных миноров -го порядка характеристической матрицы  . Поэтому, если при некотором вещественном  все главные миноры характеристической матрицы , положительны, то при любом

,

т. е. всякое число  не является характеристическим числом матрицы . Следовательно,

.

Таким образом, неравенства (57) представляют собой необходимые и достаточные условия для того, чтобы число  было верхней границей для модулей характеристических чисел матрицы . Однако не все неравенства (57) независимы между собой.

Матрица  представляет собой матрицу с неположительными недиагональными элементами. Д. М. Котелянский показал, что для таких матриц, как и для симметрических матриц, положительность всех главных миноров вытекает из положительности последовательных главных миноров.

Лемма 3 (Котелянского). Если в вещественной матрице  все недиагональные элементы отрицательны или равны нулю

 (, ),                            (58)

а последовательные главные миноры положительны

    (59)

то все главные миноры матрицы  положительны:

 (, ).

Доказательство. Будем доказывать лемму индуктивно относительно порядка матрицы . При  лемма имеет место, так как из

, , ,

следует: . Пусть лемма справедлива для матриц порядка ; докажем ее для матрицы . Введем в рассмотрение окаймляющие определители

 .

Из (58) и (59) следует:

 (,).

С другой стороны, применяя к матрице  тождество Сильвестра (гл. II, равенство (30), стр. 48), получаем:

    (60)

Отсюда в силу (59) следует, что последовательные главные миноры матрицы  положительны:

Таким образом, матрица -го порядка  удовлетворяет условиям леммы. Поэтому согласно допущению индукции все главные миноры матрицы  положительны:

 (, )

Но тогда из (60) вытекает, что положительны все главные миноры матрицы , содержащие первую строку:

 (, )    (61)

Возьмем фиксированные индексы  и составим матриц -го порядка:

 .                              (62)

Последовательные главные миноры этой матрицы в силу (61) положительны:

а недиагональные элементы неположительны:

 (, ).

Но порядок матрицы (62) равен . Поэтому согласно допущению индукции все главные миноры этой матрицы положительны; в частности,

  (, )    (63)

Таким образом, все миноры порядка  матрицы  положительны.

Поскольку в силу (63) , то мы можем теперь ввести в рассмотрение определители второго порядка, окаймляющие элемент  (а не  как раньше):

 .

Оперируя с матрицей  так, как мы ранее оперировали с матрицей , мы получим неравенства, аналогичные неравенствам (61):

                                         (64)

(; ; ).

Так как любой главный минор матрицы  либо содержит первую строку, либо содержит вторую строку, либо имеет порядок , то из неравенств .(61), (63) и (64) следует, что все главные миноры матрицы  положительны. Лемма доказана.

Доказанная лемма позволяет в условиях (57) сохранить лишь последовательные главные миноры и сформулировать следующую теорему:

Теорема 4. Для того, чтобы вещественное число  было больше максимального характеристического числа  матрицы ,

,

необходимо и достаточно, чтобы при этом значении  все последовательные главные миноры характеристической матрицы  были положительны:

    (65)

Рассмотрим одно приложение этой теоремы. Пусть у матрицы   все недиагональные элементы неотрицательны. Тогда при некотором  матрица . Характеристические числа   матрицы  расположим в порядке возрастания вещественных частей:

Обозначим через  максимальное характеристическое число матрицы . Поскольку характеристическими числами матрицы  являются суммы  , то

.

В данном случае неравенство  имеет место лишь при  и означает, что у матрицы  все характеристические числа имеют отрицательные вещественные части. Записывая неравенства (65) для матрицы , мы получим теорему:

Теорема 5. Для того чтобы у вещественной матрицы  с неотрицательными недиагональными элементами

 (,)

все характеристические числа имели отрицательные вещественные части необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства

     (66)

Пусть снова  — произвольная неразложимая неотрицательная матрица, а   - некоторый вектор, не являющийся собственным для максимального характеристического числа . Тогда в силу замечания 5 на стр. 365 существуют индексы  и   такие, что выполняются неравенства

 и                                    (67)

Если же  - собственный вектор матрицы  для характеристического числа , то в соотношениях (67) знаки неравенств следует заменить знаком равенства. Поэтому для любого вектора  существуют индексы  и  , при которых

 и                                    (67')

В таком ослабленном виде соотношения (67') остаются в силе и для разложимой матрицы , поскольку она может быть представлена в виде предела последовательности неразложимых матриц.

Соотношения (67') позволяют установить следующую теорему:

Теорема 6. При увеличении любого элемента неотрицательной матрицы  максимальное характеристическое число не убывает. Оно строго возрастает, если  - неразложимая матрица.

Эта теорема допускает эквивалентную формулировку.

Теорема 6'. Если даны две неотрицательные матрицы  и  с максимальными характеристическими числами  и , то из неравенства   следует неравенство . Если же  - неразложимая матрица, то .

Доказательство. Пусть  - неразложимая матрица. Тогда  - также неразложимая матрица. Обозначим через  собственный вектор матрицы  для характеристического числа :

Отсюда

                           (67'')

Но . Поэтому, если  не является собственным вектором матрицы  для характеристического числа , то в силу (67) при некотором индексе  

,

откуда , т.е. .

Если же  - собственный вектор матрицы  при характеристическом числе , то , и поскольку при некотором индексе  , то из равенства (67") следует:

,

т. е. снова .

В случае разложимой матрицы введем в рассмотрение матрицы  и , где , . Тогда  и . Поэтому , где  и  - максимальные характеристические числа матриц  и . В пределе при  матрицы  и  переходят в матрицы  и , а неравенство  -  в соотношение .

Теорема доказана