§ 3. Сингулярные пучки. Теорема о приведении
Переходим к рассмотрению сингулярного
пучка матриц
с
размерами
. Обозначим через
ранг
пучка, т. е. наибольший из порядков миноров, не равных
тождественно нулю. Из сингулярности пучка следует, что всегда имеет место по
крайней мере одно из неравенств
или
. Пусть
. Тогда столбцы
-матрицы
линейно зависимы,
т. е. уравнение
(7)
где
- искомый столбец, имеет ненулевое
решение. Каждое ненулевое решение этого уравнения определяет некоторую линейную
зависимость между столбцами
-матрицы
. Мы ограничимся только теми решениями
уравнения
(7), которые являются многочленами относительно
, и среди этих решений
возьмем решение наименьшей степени
(8)
Подставляя это решение в (7) и
приравнивая нулю коэффициенты при степенях
, получим:
(9)
Рассматривая
эту систему равенств как систему линейных однородных уравнений относительно
элементов столбцов
, заключаем, что матрица
коэффициентов этой системы
(10)
имеет
ранг
. В
то же время в силу минимального свойства числа
для рангов
матриц
(10’)
имеют
место равенства
.
Таким
образом, число
есть
наименьшее значение индекса
, при котором в соотношении
имеет мести знак <.
Теперь
мы сформулируем и докажем следующую фундаментальную теорему:
Теорема
4: Если уравнение (7) имеет решение минимальной степени
и
, то данный пучок
строго
эквивалентен пучку вида
(11)
где
(12)
а
- пучок
матриц, для которого уравнение, аналогичное (7), имеет
решений степени
.
Доказательство теоремы
разобьем на три этапа. Сначала докажем, что данный пучок
строго
эквивалентен пучку вида
(13)
где
,
,
,
-
постоянные прямоугольные матрицы соответственных размеров. Затем установим, что
уравнение
не
имеет решений
степени
. После
этого мы покажем, что дальнейшими преобразованиями пучок (13) может быть
приведен к квазидиагональному виду (11).
1. Первую часть доказательства облечем в
геометрическую форму. Вместо пучка матриц
рассмотрим пучок
операторов
отображающих
в
, и покажем, что
при надлежащем выборе базисов в этих пространствах матрица, соответствующая
оператору
,
будет иметь форму (13).
Вместо,
уравнения (7) возьмем векторное уравнение
(14)
с
векторным решением
(15)
равенства (9) заменятся векторными
равенствами
(16)
Ниже мы докажем, что векторы
(17)
линейно независимы. Отсюда легко будет
следовать линейная независимость векторов
(18)
Действительно, поскольку
, из
находим:
,
откуда в силу линейной независимости векторов (17)
. Но
, поскольку в противном случае
было бы
решением уравнения (14) степени
, что невозможно.
Поэтому и
.
Если теперь принять векторы (17) и (18)
в качестве первых базисных векторов для новых базисов соответственно в
и
, то в новых
базисах операторам
и
в
силу (16) будут соответствовать матрицы
,
тогда
-матрица
будет
иметь вид (13). Все предыдущие рассуждения будут обоснованными, если мы
докажем, что векторы (17) линейно независимы. Допустим противное, и пусть
-
первый в ряду (17) вектор, линейно зависящий от предыдущих векторов
В силу (16) это равенство может быть
переписано так:
т. е.
,
где
Далее, опять в силу (16)
,
где
Продолжая этот,
процесс далее и вводя еще векторы
,
мы получим
цепочку равенств
(19)
Из
(19) следует, что
есть ненулевое решение уравнения (14)
степени
,
что невозможно. Таким образом, векторы (17) линейно независимы.
2. Докажем теперь, что уравнение
не
имеет решений степени
.
Сначала обратим внимание на то, что уравнение
, как
и уравнение (7), имеет ненулевое решение наименьшей степени
. В этом можно убедиться
непосредственно, если матричное уравнение
заменить
системой обыкновенных уравнений
, откуда
С другой стороны, если пучок имеет
«треугольный» вид (13), то соответствующие этому пучку матрицы
[см. (10) и (10')
на стр. 335] после надлежащей перестановки строк и столбцов также могут быть
приведены к треугольному виду
(20)
При
все столбцы этой матрицы, а значит, и
столбцы матрицы
,
линейно независимы. Но
- квадратная матрица порядка
. Поэтому и в
матрице
все
столбцы линейно независимы, а это, как было выяснено в начале параграфа,
означает, что уравнение
не имеет решений степени
, что и требовалось
доказать.
3. Заменим пучок (13) строго
эквивалентным ему пучком
(21)
где
-
квадратные единичные матрицы соответственно порядков
и
, а
- произвольные постоянные
прямоугольные матрицы соответствующих размеров. Наша теорема будет полностью
доказана, если мы покажем, что матрицы
и
могут быть выбраны так,
чтобы имело место матричное равенство
(22)
Введем обозначения для элементов матриц
,
,
а также для строк
матрицы
и
для столбцов матриц
,
:
,
,
(
;
;
),
,
,
Тогда матричное уравнение (22) можно
заменить системой скалярных уравнений, записывая, что элементы
-го
столбца в левой и правой частях равенства (22) соответственно равны друг другу
:
(23)
В левых частях этих равенств стоят
линейные двучлены относительно
. Свободный член каждого из первых
этих двучленов
равен коэффициенту при
в следующем двучлене. Но тогда и
правые части должны удовлетворять этому условию. Поэтому
(24)
Если равенства (24) имеют место, то,
очевидно, из (23) можно определить искомые элементы матрицы
.
Теперь осталось показать, что система
уравнений (24) относительно элементов матрицы
всегда имеет решение при любых
и
(
;
).
Действительно, матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных
элементах строк
, может
быть записана после транспонирования в виде
Но
эта матрица является матрицей
для пучка прямоугольных матриц
[см. (10') на стр.
335]. Ранг же этой матрицы равен
, поскольку по доказанному уравнение
не
имеет решений степени
. Таким образом, ранг системы
уравнений (24) равен числу уравнений, а такая система при любых свободных
членах является совместной (непротиворечивой).
Теорема
доказана полностью.