§ 3. Сингулярные пучки. Теорема о приведении
Переходим к рассмотрению сингулярного
пучка матриц 
с
размерами 
. Обозначим через 
ранг
пучка, т. е. наибольший из порядков миноров, не равных
тождественно нулю. Из сингулярности пучка следует, что всегда имеет место по
крайней мере одно из неравенств 
или 
. Пусть . Тогда столбцы 
-матрицы линейно зависимы,
т. е. уравнение
(7)
где 
- искомый столбец, имеет ненулевое
решение. Каждое ненулевое решение этого уравнения определяет некоторую линейную
зависимость между столбцами -матрицы . Мы ограничимся только теми решениями
уравнения
(7), которые являются многочленами относительно , и среди этих решений
возьмем решение наименьшей степени 
(8)
Подставляя это решение в (7) и
приравнивая нулю коэффициенты при степенях , получим:
(9)
Рассматривая
эту систему равенств как систему линейных однородных уравнений относительно
элементов столбцов 
, заключаем, что матрица
коэффициентов этой системы
(10)
имеет
ранг
. В
то же время в силу минимального свойства числа для рангов 
матриц
(10’)
имеют
место равенства 
.
Таким
образом, число есть
наименьшее значение индекса 
, при котором в соотношении 
имеет мести знак <.
Теперь
мы сформулируем и докажем следующую фундаментальную теорему:
Теорема
4: Если уравнение (7) имеет решение минимальной степени и 
, то данный пучок строго
эквивалентен пучку вида
(11)
где
(12)
а
- пучок
матриц, для которого уравнение, аналогичное (7), имеет
решений степени 
.
Доказательство теоремы
разобьем на три этапа. Сначала докажем, что данный пучок строго
эквивалентен пучку вида
(13)
где
,
, 
, 
-
постоянные прямоугольные матрицы соответственных размеров. Затем установим, что
уравнение 
не
имеет решений 
степени
. После
этого мы покажем, что дальнейшими преобразованиями пучок (13) может быть
приведен к квазидиагональному виду (11).
1. Первую часть доказательства облечем в
геометрическую форму. Вместо пучка матриц рассмотрим пучок
операторов 
отображающих
в 
, и покажем, что
при надлежащем выборе базисов в этих пространствах матрица, соответствующая
оператору ,
будет иметь форму (13).
Вместо,
уравнения (7) возьмем векторное уравнение
(14)
с
векторным решением
(15)
равенства (9) заменятся векторными
равенствами
(16)
Ниже мы докажем, что векторы
(17)
линейно независимы. Отсюда легко будет
следовать линейная независимость векторов
(18)
Действительно, поскольку
, из 
находим:
,
откуда в силу линейной независимости векторов (17) 
. Но 
, поскольку в противном случае
было бы
решением уравнения (14) степени 
, что невозможно.
Поэтому и 
.
Если теперь принять векторы (17) и (18)
в качестве первых базисных векторов для новых базисов соответственно в и , то в новых
базисах операторам 
и 
в
силу (16) будут соответствовать матрицы
, 
тогда
-матрица
будет
иметь вид (13). Все предыдущие рассуждения будут обоснованными, если мы
докажем, что векторы (17) линейно независимы. Допустим противное, и пусть
-
первый в ряду (17) вектор, линейно зависящий от предыдущих векторов
В силу (16) это равенство может быть
переписано так:
т. е.
,
где
Далее, опять в силу (16)
,
где
Продолжая этот,
процесс далее и вводя еще векторы
,
мы получим
цепочку равенств
(19)
Из
(19) следует, что
есть ненулевое решение уравнения (14)
степени 
,
что невозможно. Таким образом, векторы (17) линейно независимы.
2. Докажем теперь, что уравнение
не
имеет решений степени .
Сначала обратим внимание на то, что уравнение 
, как
и уравнение (7), имеет ненулевое решение наименьшей степени . В этом можно убедиться
непосредственно, если матричное уравнение заменить
системой обыкновенных уравнений
, откуда 
С другой стороны, если пучок имеет
«треугольный» вид (13), то соответствующие этому пучку матрицы 
[см. (10) и (10')
на стр. 335] после надлежащей перестановки строк и столбцов также могут быть
приведены к треугольному виду
(20)
При 
все столбцы этой матрицы, а значит, и
столбцы матрицы 
,
линейно независимы. Но - квадратная матрица порядка 
. Поэтому и в
матрице 
все
столбцы линейно независимы, а это, как было выяснено в начале параграфа,
означает, что уравнение не имеет решений степени 
, что и требовалось
доказать.
3. Заменим пучок (13) строго
эквивалентным ему пучком
(21)
где
-
квадратные единичные матрицы соответственно порядков 
и
, а 
- произвольные постоянные
прямоугольные матрицы соответствующих размеров. Наша теорема будет полностью
доказана, если мы покажем, что матрицы 
и 
могут быть выбраны так,
чтобы имело место матричное равенство
(22)
Введем обозначения для элементов матриц ,, а также для строк
матрицы и
для столбцов матриц , :
, 
, 
(
; 
; 
),
, 
, 
Тогда матричное уравнение (22) можно
заменить системой скалярных уравнений, записывая, что элементы -го
столбца в левой и правой частях равенства (22) соответственно равны друг другу 
:
(23)
В левых частях этих равенств стоят
линейные двучлены относительно . Свободный член каждого из первых этих двучленов
равен коэффициенту при в следующем двучлене. Но тогда и
правые части должны удовлетворять этому условию. Поэтому
(24)
Если равенства (24) имеют место, то,
очевидно, из (23) можно определить искомые элементы матрицы .
Теперь осталось показать, что система
уравнений (24) относительно элементов матрицы всегда имеет решение при любых 
и 
(; ).
Действительно, матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных
элементах строк 
, может
быть записана после транспонирования в виде
Но
эта матрица является матрицей 
для пучка прямоугольных матриц [см. (10') на стр.
335]. Ранг же этой матрицы равен 
, поскольку по доказанному уравнение не
имеет решений степени . Таким образом, ранг системы
уравнений (24) равен числу уравнений, а такая система при любых свободных
членах является совместной (непротиворечивой).
Теорема
доказана полностью.
