§ 3. Сингулярные пучки. Теорема о приведении

Переходим к рассмотрению сингулярного пучка матриц с размерами . Обозначим через ранг пучка, т. е. наибольший из порядков миноров, не равных тождественно нулю. Из сингулярности пучка следует, что всегда имеет место по крайней мере одно из неравенств или . Пусть . Тогда столбцы -матрицы линейно зависимы, т. е. уравнение

(7)

где - искомый столбец, имеет ненулевое решение. Каждое ненулевое решение этого уравнения определяет некоторую линейную зависимость между столбцами -матрицы . Мы ограничимся только теми решениями уравнения (7), которые являются многочленами относительно , и среди этих решений возьмем решение наименьшей степени

(8)

Подставляя это решение в (7) и приравнивая нулю коэффициенты при степенях , получим:

(9)

Рассматривая эту систему равенств как систему линейных однородных уравнений относительно элементов столбцов , заключаем, что матрица коэффициентов этой системы

(10)

имеет ранг. В то же время в силу минимального свойства числа для рангов матриц

(10’)

имеют место равенства .

Таким образом, число есть наименьшее значение индекса , при котором в соотношении имеет мести знак <.

Теперь мы сформулируем и докажем следующую фундаментальную теорему:

Теорема 4: Если уравнение (7) имеет решение минимальной степени и , то данный пучок строго эквивалентен пучку вида

(11)

где

(12)

а - пучок матриц, для которого уравнение, аналогичное (7), имеет решений степени .

Доказательство теоремы разобьем на три этапа. Сначала докажем, что данный пучок строго эквивалентен пучку вида

(13)

где , , , - постоянные прямоугольные матрицы соответственных размеров. Затем установим, что уравнение не имеет решений степени . После этого мы покажем, что дальнейшими преобразованиями пучок (13) может быть приведен к квазидиагональному виду (11).

1. Первую часть доказательства облечем в геометрическую форму. Вместо пучка матриц рассмотрим пучок операторов отображающих в , и покажем, что при надлежащем выборе базисов в этих пространствах матрица, соответствующая оператору , будет иметь форму (13).

Вместо, уравнения (7) возьмем векторное уравнение

(14)

с векторным решением

(15)

равенства (9) заменятся векторными равенствами

(16)

Ниже мы докажем, что векторы

(17)

линейно независимы. Отсюда легко будет следовать линейная независимость векторов

(18)

Действительно, поскольку, из находим: , откуда в силу линейной независимости векторов (17) . Но , поскольку в противном случае было бы решением уравнения (14) степени , что невозможно. Поэтому и .

Если теперь принять векторы (17) и (18) в качестве первых базисных векторов для новых базисов соответственно в и , то в новых базисах операторам и в силу (16) будут соответствовать матрицы

тогда -матрица будет иметь вид (13). Все предыдущие рассуждения будут обоснованными, если мы докажем, что векторы (17) линейно независимы. Допустим противное, и пусть - первый в ряду (17) вектор, линейно зависящий от предыдущих векторов

В силу (16) это равенство может быть переписано так:

т. е.

где

Далее, опять в силу (16)

где

Продолжая этот, процесс далее и вводя еще векторы

мы получим цепочку равенств

(19)

Из (19) следует, что

есть ненулевое решение уравнения (14) степени , что невозможно. Таким образом, векторы (17) линейно независимы.

2. Докажем теперь, что уравнение не имеет решений степени . Сначала обратим внимание на то, что уравнение , как и уравнение (7), имеет ненулевое решение наименьшей степени . В этом можно убедиться непосредственно, если матричное уравнение заменить системой обыкновенных уравнений

, откуда

С другой стороны, если пучок имеет «треугольный» вид (13), то соответствующие этому пучку матрицы [см. (10) и (10') на стр. 335] после надлежащей перестановки строк и столбцов также могут быть приведены к треугольному виду

(20)

При все столбцы этой матрицы, а значит, и столбцы матрицы , линейно независимы. Но - квадратная матрица порядка . Поэтому и в матрице все столбцы линейно независимы, а это, как было выяснено в начале параграфа, означает, что уравнение не имеет решений степени , что и требовалось доказать.

3. Заменим пучок (13) строго эквивалентным ему пучком

(21)

где - квадратные единичные матрицы соответственно порядков и, а - произвольные постоянные прямоугольные матрицы соответствующих размеров. Наша теорема будет полностью доказана, если мы покажем, что матрицы и могут быть выбраны так, чтобы имело место матричное равенство

(22)

Введем обозначения для элементов матриц ,, а также для строк матрицы и для столбцов матриц , :

, , (; ; ),

, ,

Тогда матричное уравнение (22) можно заменить системой скалярных уравнений, записывая, что элементы -го столбца в левой и правой частях равенства (22) соответственно равны друг другу :

(23)

В левых частях этих равенств стоят линейные двучлены относительно . Свободный член каждого из первых этих двучленов равен коэффициенту при в следующем двучлене. Но тогда и правые части должны удовлетворять этому условию. Поэтому

(24)

Если равенства (24) имеют место, то, очевидно, из (23) можно определить искомые элементы матрицы .

Теперь осталось показать, что система уравнений (24) относительно элементов матрицы всегда имеет решение при любых и (; ). Действительно, матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных элементах строк , может быть записана после транспонирования в виде

Но эта матрица является матрицей для пучка прямоугольных матриц [см. (10') на стр. 335]. Ранг же этой матрицы равен , поскольку по доказанному уравнение не имеет решений степени . Таким образом, ранг системы уравнений (24) равен числу уравнений, а такая система при любых свободных членах является совместной (непротиворечивой).

Теорема доказана полностью.