§ 7. Формула Орландо

При рассмотрении случаев, когда некоторые из определителей Гурвица равны нулю, нам понадобится следующая формула Орландо [137], выражающая определитель  через старший коэффициент  и корни  многочлена

                                                (39)

При  эта формула сводится к известной формуле для коэффициента  в квадратном уравнении :

.

Допустим теперь, что формула (39) справедлива для многочлена -й степени  и покажем, что она справедлива для многочлена -й степени

.

Для этого составим вспомогательный определитель -го порядка

.

Помножим первую строку  на  и прибавим к ней вторую, помноженную на –, третью, помноженную на четвертую – на –и т.д. Тогда все элементы первой строки, кроме последнего, обратятся в нуль, а последний элемент будет равен. Отсюда легко заключаем, что

.

С другой стороны, прибавляя к каждой (кроме последней) строке определителя  последующую, помноженную на , мы получим помноженный на  определитель Гурвица  -го порядка для многочлена:

Таким образом,

.

Заменяя здесь  на его выражение из (39) и полагая , получаем:

.

Таким образом, методом математической индукции установлена справедливость формулы Орландо для многочлена любой степени.

Из формулы Орландо следует, что  тогда и только тогда, когда сумма двух корней многочлена  равна нулю.

Так как , где – свободный член многочлена  , то из (39) следует:

                                           (40)

Последняя формула показывает, что  обращается в нуль тогда и только тогда, когда у  существует такой корень , что и  является корнем.