§ 11. Приводимые аналитические системы
В качестве приложения теоремы предыдущего параграфа
выясним, в каких случаях система
, (145)
где
(146)
- сходящийся ряд при
является приводимой (по Ляпунову),
т. е. в каких случаях существует решение системы вида
(147)
где
-
матрица Ляпунова (т. е.
удовлетворяет
условиям 1°—3° на стр. 422), а
- постоянная матрица. Здесь
,
- матрицы с комплексными
элементами, а
-
вещественный аргумент.
Сделаем преобразование
.
Тогда система (145) перепишется в виде
(148)
где
(149)
Ряд, стоящий в правой части выражения для
, сходится при
. Могут
представиться два случая:
1)
. В этом случае точка
не
является особой для системы (148). Эта система имеет решение, регулярное и
нормированное в точке
.
Это решение задается сходящимся степенным рядом
Полагая
,
,
получим искомое представление (147). Система
приводима.
2)
. В этом случае система (148) имеет
регулярную особую точку в точке
.
Не нарушая общности рассуждений, можно считать
матрицу вычетов
приведенной
к жордановой форме, в которой диагональные элементы
расположены в порядке
.
Тогда в формуле (144)
, и потому система (148) имеет
решение
где функция
регулярна
при
и принимает в
этой точке значение
, а
- многочлены от
.
Заменяя здесь
на
, будем
иметь:
(150)
Так как
преобразование
является
преобразованием Ляпунова, то система (145) будет приводимой к некоторой системе
с постоянными коэффициентами в том и только в том случае, когда произведение
(151)
где
- некоторая постоянная матрица будет
матрицей Ляпунова, т. е. когда матрицы
,
и
будут ограничены. При этом, как следует
из теоремы Еругина (§ 4), матрицу
можно
считать матрицей с вещественными характеристическими числами.
Из ограниченности матриц
и
при
вытекает, что
все характеристические числа матрицы
должны
равняться нулю. Это следует из выражения для
и
,
получаемого из (151). Кроме того, все числа
должны быть чисто мнимыми, поскольку
согласно (151) из ограниченности элементов последней строки в
и первого
столбца в
вытекает,
что
и
.
Но если все характеристические числа матрицы
чисто мнимы, то
разность между любыми двумя различными характеристическими числами матрицы
не равна целому
числу. Поэтому имеет место формула (139):
и для приводимости системы необходимо и достаточно, чтобы
матрица
(152)
вместе со своей обратной была бы ограничена при
.
Поскольку все характеристические числа матрицы
должны равняться
нулю, то минимальный многочлен для матрицы
имеет
вид
.
Обозначим через
минимальный многочлен матрицы
. Поскольку
, то числа
отличаются знаком
от соответствующих чисел
и потому все они — чисто мнимые
числа. Тогда [см. формулы (12), (13) на стр. 421]
(153)
(154)
Подставляя эти выражения в равенство
получим:
(155)
где
-наибольшее из чисел
обозначает
матрицу, стремящуюся к нулю при
, а
- ограниченная
матрица при
.
Так как матрицы, стоящие в левой и правой частях
равенства (155), должны иметь одинаковый порядок роста при
, то
,
т.е.
,
и матрица
имеет простые элементарные делители.
Обратно, если матрица
имеет простые элементарные делители
и чисто мнимые характеристические числа
, то
есть решение системы (149). Полагая здесь
, найдем:
Функция
вместе с
и обратной матрицей
ограничена при
. Поэтому система
приводима
.
Нами доказана
Теорема
3. Система
где матрица
представима сходящимися
при
рядом
является приводимой в том и только в том случае,
если у матрицы вычетов
все
элементарные делители простые и все
характеристические числа чисто
мнимы.