ГЛАВА VIII. МАТРИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ
В
этой главе мы рассмотрим некоторые типы матричных уравнений, встречающиеся в
разнообразных вопросах теории матриц и ее приложений.
§ 1. Уравнение AX=XB
Пусть
дано уравнение
, (1)
где
и 
– две заданные
квадратные матрицы (вообще говоря, разных порядков)
,
а
– искомая
прямоугольная матрица размером 
:
.
Выпишем
элементарные делители матриц и (в поле комплексных чисел):
.
В
соответствии с этими элементарными делителями приведем матрицы и к нормальной
жордановой форме
, (2)
где
и 
– квадратные
неособенные матрицы соответственно порядка 
и 
, а 
и 
– жордановы матрицы:
(3)
Подставляя
в уравнение (1) вместо и их выражения (2), получим:
.
Умножим
обе части этого равенства слева на 
, а справа – на :
. (4)
Вводя
вместо искомой матрицы новую искомую матрицу 
(тех же размеров )
, (5)
мы
уравнение (4) запишем так:
. (6)
Мы
заменили матричное уравнение (1) уравнением (6) того же вида, но в котором
заданные матрицы имеют нормальную жорданову форму.
В
соответствии с квазидиагональным видом матриц и разобьем матрицу на блоки:
(здесь
– прямоугольная
матрица размером 
).
Используя
правило умножения блочной матрицы на квазидиагональную (см. стр. 56),
произведем умножение матриц в левой и правой частях уравнения (6). Тогда это
уравнение распадается на 
матричных уравнений
,
которые
перепишем еще так:
; (7)
при
этом мы ввели сокращенные обозначения
. (8)
Возьмем
какое-нибудь из уравнений (7). Могут представиться два случая:
1.
. Проитерируем
раз
равенство (7):
. (9)
Заметим,
что в силу (8)
. (10)
Если
в (9) взять 
,
то в каждом члене суммы, стоящей в правой части равенства (9), выполняется по
крайней мере одно из соотношений
,
и
потому в силу (10) либо 
, либо 
. Так как, кроме того, в
рассматриваемом случае , то из (9) находим:
. (11)
2.
. В этом
случае уравнение (7) принимает вид
. (12)
В
матрицах 
и
элементы
первой наддиагонали равны единице, а все остальные элементы равны нулю.
Учитывая эту специфичную структуру матриц и и полагая
,
мы
заменим матричное уравнение (12) следующей эквивалентной ему системой скалярных
соотношении:
. (13)
Равенства
(13) означают:
1)
В матрице на
каждой линии, параллельной главной диагонали, стоят равные между собой
элементы,
2)
.
Пусть
. В этом
случае –
квадратная матрица. Из 1), 2) следует, что в матрице все элементы, расположенные
под главной диагональю, равны нулю, все элементы главной диагонали равны
некоторому числу 
,
все элементы первой наддиагонали равны некоторому числу 
и т. д., т. е.
; (14)
здесь
–
произвольные параметры (уравнения (12) не накладывают никаких ограничений на
значения этих параметров).
Легко
видеть, что при 
, (15)
а
при 
. (16)
Про
матрицы (14), (15) и (16) мы будем говорить, что они имеют правильную верхнюю
треугольную форму. Число произвольных параметров в равно наименьшему из чисел 
и 
. Приведенная ниже
схема показывает структуру матрицы при (произвольные параметры здесь
обозначены через 
):
Для
того чтобы при подсчете произвольных параметров в матрице охватить и случай 1,
обозначим через 
наибольший
общий делитель элементарных делителей 
и 
, а через 
– степень многочлена 
. В случае 1 
; в случае 2 имеем:
. Таким
образом, в обоих случаях число произвольных параметров в равно . Число произвольных
параметров в определяется
формулой
.
В
дальнейшем нам удобно будет общее решение уравнения (6) обозначить через 
(до сих пор мы это
решение обозначали буквой ).
Полученные
в этом параграфе результаты можно сформулировать в виде следующей теоремы:
Теорема
1. Общее решение матричного уравнения
,
где
задается
формулой
. (17)
Здесь
– общее
решение уравнения – имеет следующую структуру: разбивается на
блоки
;
если
, то на
месте стоит
нулевая матрица, если же , то на месте стоит произвольная
правильная верхняя треугольная матрица.
,
а следовательно, и зависят линейно от 
произвольных
параметров 
:
, (18)
где
определяется
формулой
(19)
[здесь
обозначает
степень наибольшего общего делителя и ].
Заметим,
что матрицы 
,
фигурирующие в формуле (18), суть решения исходного уравнения (1) (матрица 
получается из , если параметру 
дать значение
единицы, а остальным параметрам – нулевые значения; 
). Эти решения линейно
независимы, так как в противном случае при некоторых значениях параметров , не равных
одновременно нулю, матрица , а следовательно, и равнялись бы нулю,
что невозможно. Таким образом, равенство (19) показывает, что любое решение
исходного уравнения представляет собой линейную комбинацию линейно независимых
решений.
Если
матрицы и
не имеют
общих характеристических чисел (характеристические многочлены 
и 
взаимно просты),
то 
и,
следовательно, 
,
т. е. в этом случае уравнение (1) имеет только тривиальное нулевое решение .
Замечание.
Пусть элементы матриц и принадлежат некоторому числовому полю
. Тогда
нельзя утверждать, что элементы матриц 
фигурирующих в формуле (17), также
принадлежат полю .
Элементы этих матриц можно выбрать в расширенном поле 
, которое получается из поля
путем
приобщения к последнему корней характеристических уравнений 
и 
. С такого рода расширением
основного поля всегда приходится иметь дело, когда пользуются приведением
заданных матриц к нормальной жордановой форме.
Однако
матричное уравнение (1) эквивалентно системе 
линейных однородных уравнении, где
неизвестными служат элементы 
искомой матрицы :
. (20)
Нами
доказано, что эта система имеет линейно независимых решений, где определяется
формулой (19). Но известно, что базисные линейно независимые решения можно
выбрать в основном поле , которому принадлежат коэффициенты
уравнений (20). Таким образом, в формуле (18) матрицы можно выбрать так, чтобы их
элементы принадлежали полю . Тогда, придавая в формуле (18)
произвольным параметрам всевозможные значения из поля , мы получим все матрицы с элементами из , удовлетворяющие
уравнению (1).
