§ 12. Второе доказательство теоремы Рауса—Гурвица
В
§ 6 мы доказали теорему Рауса—Гурвица, опираясь на теорему Штурма и алгоритм
Рауса. В этом параграфе мы дадим доказательство теоремы Рауса—Гурвица,
основанное на теореме 10 § 11 и на свойствах индексов Коши.
Отметим
некоторые свойства индексов Кош и, которые нам понадобятся в дальнейшем.
1°
2°
.
3°.
Если
, то
, где
, если
—
конечная величина, и
, если в точке с функция
обращается
в бесконечность; при этом
соответствует переходу в точке
от
к
(при возрастании
), а
– переходу от
к
.
4°
Если
то
. Если
, то
.
5°
, где
– знак
внутри
вблизи
,
– знак
внутри
вблизи
.
Первые
четыре свойства непосредственно следуют из определения индекса Коши (см. § 2).
Свойство 5° вытекает из того, что сумма индексов
равна разности
где
– число
перемен знака
с
переходом от отрицательных значений к положительным при изменении
от
до
,
– число перемен
знака
с
переходом от положительных к отрицательным значениям.
Рассмотрим
вещественный многочлен
Мы
его можем представить в виде
,
где
Введем
обозначение
(71)
В
§ 3 мы показали [см. (20) на стр. 475], что
,
где
— число корней
многочлена
с
положительными вещественными частями, a
— число
корней
,
расположенных на мнимой оси.
Преобразуем
выражение (71) для
.
Рассмотрим
сначала случай четного
. Пусть
. Тогда
.
Пользуясь свойствами 1°—4° и
полагая
,
если соответственно
в остальных случаях,
будем иметь:
Точно так же при n нечетном,
, имеем:
.
Полагая
, если
в остальных случаях,
найдем:
Таким
образом,
(73’)
(73’’)
По-прежнему через
будем обозначать
определители Гурвица для данного многочлена
. Примем, что
.
1)
. По формуле (70)
(74)
. (75)
Но
тогда согласно (73')
,
что
в соединении с равенством
дает:
(76)
2)
. По
формуле (70),
,
(77)
(78)
Равенство
вместе
с равенствами (73’’), (77) и (78) дает нам снова формулу (76).
Теорема
Рауса — Гурвица доказана (см. стр. 486).
Замечание
1. Если в формуле
некоторые
промежуточные определители Гурвица равны нулю, то формула сохраняет силу и в
этом случае, только в каждой группе подряд идущих нулевых определителей
следует
приписать этим определителям (в соответствии с теоремой 7) знаки
,
что
дает:
(79)
Внимательное
сопоставление этого правила вычисления
при наличии нулевых определителей
Гурвица с правилом, данным в теореме 5 (стр. 492), показывает, что оба правила
совпадают.
Замечание
2. Если
,
то многочлены
и
не
являются взаимно простыми. Обозначим через
наибольший общий делитель
многочленов
и
, а
через
–
наибольший общий делитель
и
(
или 1).
Степень
обозначим
через
и
положим
и
.
Несократимой рациональной дроби
всегда
соответствует некоторая бесконечная ганкелева матрица
ранга
, где
– степень
. При
этом соответствующий определитель
, а
. В силу формулы (68’)
. Кроме того,
.
Применяя
все это к дробям, стоящим под знаком индекса в (74), (75), (77) и (78), мы
легко найдем, что при любом
(четном и нечетном) и
и
что все формулы (74), (75), (77) и (78) сохраняют свою силу и в рассматриваемом
случае, если в правых частях этих формул опустить все
при
и заменить число
[а
в формуле (77) число
] на степень соответствующего
знаменателя подиндексной дроби после ее сокращения. Тогда мы получим с учетом
(73') и (73"):
.
Вместе
с формулой
это
дает:
,
где
– число
всех корней
,
лежащих в правой полуплоскости, за исключением тех, которые одновременно
являются корнями и многочлена
.