§ 6. Пучок квадратичных форм

В теории малых колебаний приходится одновременно рассматривать две квадратичные формы, из которых одна задает потенциальную, а вторая – кинетическую энергию системы. Вторая форма всегда является положительно определенной.

Изучению системы двух таких форм мы посвящаем этот параграф.

Две вещественные квадратичные формы

определяют пучок форм  ( – параметр).

Если форма  – положительно определенная, то пучок  называют регулярным.

Уравнение

называется характеристическим уравнением пучка форм .

Обозначим через  какой-либо корень этого уравнения. Поскольку матрица  особенная, то существует столбец  такой, что  или

.

Число  мы будем называть характеристическим числом пучка , a  – соответствующим главным столбцом или «главным вектором» этого пучка. Имеет место следующая

Теорема 8. Характеристическое уравнение

регулярного пучка форм  всегда имеет  вещественных корней  , которым соответствуют главные векторы  :

.                       (49)

Эти главные векторы  могут быть выбраны так, чтобы выполнялись соотногиения

.                    (50)

Доказательство. Заметим, что равенства (49) могут быть записаны так:

.                      (49')

Таким образом, наша теорема утверждает, что матрица

                   (51)

имеет 1. простую структуру, 2. вещественные характеристические числа  и 3. собственные столбцы (векторы) , соответствующие этим характеристическим числам и удовлетворяющие соотношениям (50).

Матрица , являясь произведением двух симметрических матриц  и , не обязательно сама должна быть симметрической, поскольку , a . Однако, полагая , из равенства (51) легко получаем:

,                (52)

где

              (52')

– симметрическая матрица. Из того, что матрица  подобна симметрической матрице , сразу следуют утверждения 1. и 2. Обозначая через   пронормированную систему собственных векторов симметрической матрицы :

,                      (53)

и полагая

,              (54)

мы из равенств (52), (52'), (53), (54) найдем:

,

где , и, т. е. доказано утверждение 3., и теорема 8 доказана полностью.

Заметим, что из (50) следует, что столбцы  линейно независимы. В самом деле, пусть

.                (55)

Тогда при любом  согласно (50)

.

Таким образом, в (55) все   равны нулю, и никакой линейной зависимости между столбцами  не существует.

Квадратную матрицу, составленную из главных столбцов , удовлетворяющих соотношениям (50),

мы будем называть главной матрицей для пучка форм . Главная матрица  – неособенная , поскольку ее столбцы линейно независимы.

Равенства (50) могут быть записаны так:

.                    (56)

Кроме того, помножив обе части равенств (49) слева на строчную матрицу , получим:

.                   (57)

Вводя главную матрицу , мы равенства (56) и (57) можем представить в виде

.                 (58)

Формулы (58) показывают, что неособенное преобразование

                       (59)

одновременно приводит квадратичные формы  и  к суммам квадратов:

 и .                  (60)

Это свойство преобразования (59) характеризует главную матрицу . Действительно, пусть преобразование (59) одновременно приводит формы  и  к каноническим видам (60). Тогда имеют место равенства (58), а следовательно, для столбцов матрицы , (56) и (57). Из (58) следует неособенность матрицы . Равенства же (57) перепишем так:

;                        (61)

здесь  имеет произвольное фиксированное значение . Систему равенств (61) можно объединить в одно равенство:

,

откуда, поскольку  – неособенная матрица,

,

т. е. при любом  получаем (49). Следовательно,  – главная матрица. Нами доказана

Теорема 9. Если  – главная матрица регулярного пучка форм , то преобразование

                       (62)

приводит одновременно формы  и  соответственно к суммам квадратов

,                        (63)

где (63)  – характеристические числа пучка , соответствующие столбцам  матрицы .

Обратно, если некоторое преобразование (62) одновременно переводит формы  и  к виду (63), то  – главная матрица регулярного пучка форм .

Иногда характерное свойство преобразования (62), сформулированное в теореме 9, используется для построения главной матрицы и доказательства теоремы 8. Для этого сначала совершают преобразование переменных , приводящее форму  к единичной сумме квадратов  (что всегда возможно, поскольку  – положительно определенная форма). При этом форма  переходит в некоторую форму . Теперь форму  приводят к виду  при помощи ортогонального преобразования  (приведение к главным осям!).

При этом очевидно, . Таким образом, преобразование , где , приводит данные две формы к виду (63). После этого показывают (как это было сделано на стр. 282), что столбцы  матрицы  удовлетворяют соотношениям (49) и (50).

В частном случае, когда  - единичная форма, т. е.  и, следовательно, , характеристическое уравнение пучка  совпадает с характеристическим уравнением матрицы , а главные векторы пучка становятся собственными векторами матрицы . В этом случае соотношения (50) записываются так:, и выражают ортонормированность столбцов .

Теоремы 8 и 9 допускают наглядную геометрическую интерпретацию. Введем евклидово пространство  с базисом  и основной метрической формой .

Рассмотрим в  центральную гиперповерхность второго порядка, уравнение которой

                          (64)

После преобразования координат , где  - главная матрица пучка , новыми базисными векторами являются векторы , координаты которых в старом базисе составляют столбцы матрицы , т. е. главные векторы пучка. Эти векторы образуют ортонормированный базис, в котором уравнение гиперповерхности (64) имеет вид

                                    (65)

Следовательно, главные векторы пучка  совпадают по направлению с главными осями гиперповерхности (64), а характеристические числа пучка  определяют величины полуосей: .

Таким образом, задача определения характеристических чисел и главных векторов регулярного пучка форм  эквивалентна задаче приведения к главным осям уравнения (64) центральной гиперповерхности второго порядка в том случае, когда уравнение гиперповерхности задано в обобщенной косоугольной системе координат, в которой «единичная сфера» имеет уравнение .

Пример. Дано уравнение поверхности второго порядка

           (66)

в обобщенной косоугольной системе координат, в которой уравнение единичной сферы

                        (67)

Требуется уравнение (66) привести к главным осям.

В данном случае

,  .

Характеристическое уравнение пучка  имеет вид

           (68)

Это уравнение имеет три корня .

Координаты главного вектора, соответствующего характеристическому числу 1, обозначим через . Величины  определяются из системы однородных уравнении, коэффициенты которых совпадают с элементами определителя (68) при :

Фактически мы здесь имеем лишь одно соотношение

Характеристическому числу должны отвечать два ортонормированных главных вектора. Координаты первого можем выбрать произвольно, лишь бы выполнялось условие . Выберем их так:

, , , где .

Координаты второго главного вектора возьмем в виде

, , ,  где ,

и запишем условие ортогональности :

Отсюда найдем: . Таким образом, координаты второго главного вектора

, , .

Аналогично, полагая в характеристическом определителе , найдем для соответствующего главного вектора:

Величины  и  определяются из условия: координаты главного вектора должны удовлетворять уравнению единичной сферы , т. е. уравнению (67). Отсюда находим:

, ,

Поэтому главная матрица имеет вид

,

и соответствующее преобразование координат  приводит уравнения (66) и (67) к каноническому виду

, .

Первое уравнение может быть еще записано так:

Это – уравнение однополостного гиперболоида вращения с вещественной полуосью, равной 2, и мнимой, равной 1. Координаты орта оси вращения определяются третьим столбцом матрицы , т. е. равны . Координаты ортов других двух ортогональных осей задаются первым и вторым столбцами.