Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
§ 4. Метод Д. К. Фаддеева одновременного вычисления коэффициентов характеристического многочлена и присоединенной матрицы
Д. К. Фаддеев предложил
метод одновременного определения скалярных коэффициентов
характеристического
многочлена
(39)
и матричных
коэффициентов
присоединенной
матрицы
.
Для изложения
метода Д. К. Фаддеева введем понятие о следе матрицы.
Под следом
матрицы
(обозначение:
)
понимают сумму диагональных элементов этой матрицы:
. (40)
Нетрудно видеть,
что
, (41)
если
— характеристические
числа матрицы
,
т. е.
. (42)
Так как,
согласно теореме 3, степень матрицы
имеет своими характеристическими
числами степени
(
), то
. (43)
Суммы
степеней корней
многочлена (39) связаны с коэффициентами этого уравнения формулами Ньютона
. (44)
Если вычислить
следы
матриц
, то
затем можно из уравнений (44) последовательно определить коэффициенты
. В этом состоит
метод Леверрье определения коэффициентов характеристического многочлена по
следам степеней матрицы.
Д. К. Фаддеев
предложил вместо следов степеней
вычислить последовательно следы
некоторых других матриц
и с их помощью определить
и
следующими
формулами:
(45)
Последнее
равенство
может
быть использовано для контроля вычислений.
Для того чтобы
убедиться, что числа
и матрицы
и последовательно
определяемые по формулам (45), являются коэффициентами
и
, заметим, что из (45)
вытекают следующие формулы для
и
(
):
,
. (46)
Приравняем между
собой следы левой и правой частей первой из этих формул; получим:
.
Но эти формулы
совпадают с формулами Ньютона (44), по которым последовательно определяются
коэффициенты характеристического многочлена
. Следовательно, числа
определяемые по
формулам (45), и являются коэффициентами
. Но тогда вторые формулы (46)
совпадают с формулами (33), но которым определяются матричные коэффициенты
присоединенной
матрицы
.
Следовательно, формулы (45) определяют и коэффициенты
матричного многочлена
.
Пример.
,
,
,
,
,
;
,
,
;
,
,
,
,
.
Замечание. Если
мы хотим определить
и только первые столбцы в
,
,
то достаточно
вычислить в
элементы
1-го столбца и только диагональные элементы остальных столбцов, в
— только
элементы 1-го столбца, в
— только два первых
элемента 1-го столбца.