§ 5. Минимальный многочлен матрицы

Определение 1. Скалярный многочлен  называется аннулирующим многочленом квадратной матрицы , если

.

Аннулирующий многочлен  наименьшей степени со старшим коэффициентом, равным единице, называется минимальным многочленом матрицы .

Согласно теореме Гамильтона—Кэли характеристический многочлен  матрицы  является аннулирующим для этой матрицы. Однако, как будет показано ниже, в общем случае он не является минимальным.

Разделим произвольный аннулирующий многочлен  на минимальный:

,

где степень  меньше степени . Отсюда имеем:

.

Поскольку  и , то, значит, и . Но степень  меньше степени минимального многочлена . Поэтому . Таким образом, произвольный аннулирующий многочлен матрицы всегда делится без остатка на ее минимальный многочлен.

Пусть два многочлена  и  являются минимальными для одной и той же матрицы. Тогда каждый из них делится на другой многочлен без остатка, т. е. эти многочлены отличаются постоянным множителем. Этот постоянный множитель равен единице, поскольку равны единице старшие коэффициенты в  и . Мы доказали единственность минимального многочлена, для данной матрицы .

Выведем формулу, связывающую минимальный многочлен с характеристическим.

Обозначим через  наибольший общий делитель всех миноров -го порядка характеристической матрицы , т. е. наибольший общий делитель всех элементов присоединенной матрицы  (см. предыдущий параграф); при этом старший коэффициент в  берем равным единице. Тогда

,                     (47)

где  — некоторая многочленная матрица, «приведенная» присоединенная матрица для . Из (20) и (47) находим:

.    (48)

Отсюда следует, что  делится без остатка на :

,                              (49)

где  — некоторый многочлен. Обе части тождества (48) можно сократить на :

.                 (50)

Поскольку  делится без остатка слева на , то в силу обобщенной теоремы Безу

.                                         

Таким образом, многочлен , определенный формулой (49), является аннулирующим многочленом для матрицы . Докажем, что он является минимальным многочленом.

Обозначим минимальный многочлен через . Тогда  делится без остатка на :

.                        (51)

Поскольку , то в силу обобщенной теоремы Безу матричный многочлен  делиться слева без остатка на :

.             (52)

Из (51) и (52) следует:

.      (53)

Тождества (50) и (53) показывают, что как , так и  являются левыми частными при делении  на . В силу однозначности деления

.

Отсюда следует, что  является общим делителем всех элементов многочленной матрицы . Но, с другой стороны, наибольший общий делитель всех элементов приведенной присоединенной матрицы  равен единице, поскольку эта матрица была получена из  путем деления на . Поэтому . Так как старшие коэффициенты в  и  равны единице, то в (51) , т. е. , что и требовалось доказать.

Мы установили следующую формулу для минимального многочлена:

.                              (54)

Для приведенной присоединенной матрицы  имеем формулу, аналогичную формуле (31) (на стр. 94):

,                                       (55)

где многочлен  определяется равенством

.                 (56)

Кроме того,

.                 (57)

Переходя к определителям в обеих частях равенства (57), получаем:

.                    (58)

Таким образом,  делится без остатка на , а некоторая степень  делится без остатка на , т. е. совокупность всех различных между собой корней у многочлена  и  одна и та же. Другими словами, корнями  служат все различные между собой характеристические числа матрицы .

Если

   (59)

,

то

,              (60)

где

     .                      (61)

Отметим еще одно свойство матрицы . Пусть  - какое-либо характеристическое число матрицы . Тогда , и потому согласно (57)

.                                    (62)

Заметим, что всегда . Действительно, в противном случае все элементы приведенной присоединенной матрицы  делились бы без остатка на  что невозможно.

Обозначим через  любой ненулевой столбец матрицы . Тогда из (62)

,

т. е.

.         (63)

Другими словами, любой ненулевой столбец матрицы  (а такой столбец всегда имеется) определяет собственный вектор для .

Пример.

,

,

,

Все элементы матрицы  делятся на . Сокращая этот множитель, получим:

и

Подставим в  вместо  значение :

Первый столбец дает нам собственный вектор  для . Второй столбец дает нам собственный вектор  для того же характеристического числа . Третий столбец есть линейная комбинация первых двух.

Точно так же, полагая , из первого столбца матрицы  найдем собственный вектор , отвечающий характеристическому числу .

Обратим внимание читателя на то, что  и  можно было бы определить иначе.

Находим сначала .  может иметь своими корнями только числа 2 и 4. При  в  минор второго порядка  не обращается в нуль. Поэтому . При  столбцы матрицы  становятся пропорциональными. Поэтому все миноры второго порядка в  при  равны нулю: . Так как вычисленный минор имеет первую степень, то  не может делиться на . Следовательно,

.

Отсюда

,

,

.