§ 4. Каноническая форма приводимой системы. Теорема Еругина
Пусть даны приводимая система (19) и
эквивалентная ей (в смысле Ляпунова) система
,
где 
- постоянная матрица.
Нас будет интересовать вопрос,
в кикой степени матрица определяется
данной системой (19). Этот вопрос можно еще сформулировать
так:
В каком случае две системы
и
,
где и 
- постоянные матрицы, являются
эквивалентными по Ляпунову, т. е. переводятся друг в друга преобразованием
Ляпунова?
Для того чтобы ответить на этот вопрос,
введем понятие о матрицах, имеющих одну и ту же вещественную часть спектра.
Мы будем говорить, что две матрицы
и
-го
порядка имеют одну и ту же вещественную часть
спектра в том и только в том случае, когда элементарные
делители матриц и
имеют
соответственно вид
и
,
где
.
Имеет место следующая теорема,
установленная Н. П. Еругиным:
Теорема 1 (Еругина).
Две системы
и
(26)
( и
-
постоянные
матрицы -го
порядка) эквивалентны в смысле Ляпунова в том и только в том случае, если
матрицы и
имеют
одну и ту же вещественную часть спектра.
Доказательство.
Пусть даны системы (26). Приведем матрицу к нормальной жордановой форме (см.
гл. VI, § 7)
, (27)
где
(
,
-
вещественные числа; 
). (28)
В соответствии с (27) и (28) положим:
(29)
Тогда
, 
(30)
Определим матрицу 
равенством
.
- матрица
Ляпунова (см. пример 2 на стр. 422).
Но частное решение первой из систем (26) в силу (30)
имеет вид
.
Отсюда следует, что первая из систем (26)
эквивалентна системе
, (31)
где согласно (29) матрица 
имеет
вещественные характеристические числа и ее спектр совпадает с вещественной
частью спектра матрицы .
Аналогично вторую из систем (26) заменим
эквивалентной
, (32)
где матрица
имеет
вещественные характеристические числа и ее спектр совпадает с вещественной
частью спектра матрицы .
Наша теорема будет доказана, если мы
покажем, что две системы (31) и
(32), в которых матрицы и - постоянные матрицы с вещественными
характеристическими числами, могут быть эквивалентны лишь в том случае, когда
матрицы и
подобны.
Пусть преобразование Ляпунова
переводит (31)
в (32). Тогда матрица 
удовлетворяет
уравнению
(33)
это матричное уравнение относительно эквивалентно
системе 
дифференциальных
уравнений относительно элементов
матрицы .
Правая часть в (33) представляет собой линейную операцию над «вектором» в пространстве измерений
(33')
Любое характеристическое число линейного оператора 
(и соответствующей
ему матрицы порядка )
представляется в виде разности 
, где
- характеристическое
число матрицы , а
- характеристическое
число матрицы .
Отсюда следует, что оператор
имеет
только вещественные характеристические числа.
Обозначим через 
(
вещественны; 
при
; 
)
минимальный многочлен для . Тогда решение
системы (33') в
силу формулы (12) (стр. 421) запишется так:
, (34)
где 
- постоянные матрицы -го порядка.
Поскольку матрица 
ограничена
в интервале 
,
то как для любого 
, так и при 
и
соответствующие
матрицы 
.
Обозначим через 
сумму
всех слагаемых в (34), в которых 
. Тогда
, (35)
где
, 
, 
(35')
Тогда согласно (35) и (35')
,
откуда следует, что
,
поскольку определитель 
ограничен по модулю снизу.
Подставляя в (33) вместо
сумму 
, получим:
,
откуда в силу (35')
и, следовательно,
(36)
Обратно, если имеет место (36), то преобразование
Ляпунова
переводит систему (31) в систему (32). Теорема
доказана.
Из доказанной теоремы вытекает, что
всякая приводимая система (19) при помощи
преобразования Ляпунова 
может быть приведена к виду
,
где 
-
жорданова матрица с вещественными характеристическими числами.
Эта каноническая форма системы заданием матрицы
определяется
однозначно с точностью до порядка диагональных клеток в .
