§ 2. Спектральные свойства неразложимых неотрицательных матриц

1. Перрон в 1907 г. установил замечательные свойства спектра (т. е. совокупности характеристических чисел и собственных векторов) положительных матриц.

Теорема 1 (Перрона). Положительная матрица  всегда имеет вещественное и притом положительное характеристическое число , которое является простым корнем характеристического уравнения и превосходит модули всех других характеристических чисел. Этому «максимальному» характеристическому числу  соответствует собственный вектор  матрицы  с положительными координатами  .

Положительная матрица является частным видом неразложимой неотрицательной матрицы. Фробениус обобщил теорему Перрона, исследовав спектральные свойства неразложимых неотрицательных матриц.

Теорема 2 (Фробениуса). Неразложимая неотрицательная матрица  всегда имеет положительное характеристическое число , которое является простым корнем характеристического уравнения. Модули всех других характеристических чисел не превосходят числа . «Максимальному» характеристическому числу  соответствует собственный вектор  с положительными координатами.

Если, при этом  имеет  характеристических чисел  по модулю равных , то эти числа все различны между собой и являются корнями уравнения

                                                          (4)

и вообще совокупность всех характеристических чисел  матрицы , рассматриваемая как система точек в комплексной -плоскости, переходит сама в себя при повороте этой плоскости на угол . При  перестановкой рядов можно матрицу  привести к следующему «циклическому» виду:

                        (5)

где вдоль диагонали стоят квадратные блоки.

Поскольку теорема Перрона следует как частный случай из теоремы Фробениуса, то мы будем доказывать только последнюю. Предварительно условимся относительно некоторых обозначений.

Мы будем писать:

 или ,

где  и  - вещественные прямоугольные матрицы одинаковых размеров  

,  (, )

в том и только в том случае, когда

 (, )                   (6)

Если во всех неравенствах (6) можно отбросить знак равенства, то мы будем писать:

 или .

В частности   обозначает, что все элементы матрицы  неотрицательны (соответственно положительны).

Кроме того, через  мы будем обозначать , т. е. матрицу, которая получается, если все элементы матрицы  заменить их модулями.

2. Доказательство теоремы Фробениуса. Для фиксированного вещественного вектора   полагаем:

при этом при определении минимума исключаются те значения индекса , для которых . Очевидно,  и  есть наибольшее из вещественных чисел , для которых имеет место неравенство

.

Мы докажем, что функция  достигает своего наибольшего значения  на некотором векторе :

                         (7)

Из определения  следует, что при умножении вектора   на число  величина  не меняется. Поэтому при разыскании максимума функции  можно ограничиться замкнутым множеством , состоящим из векторов , для которых

,

Если бы функция  была непрерывна на множестве , то существование максимума было бы обеспечено. Однако функция  непрерывна в любой «точке» , но в граничных точках множества , где одна из координат обращается в нуль, может испытывать разрывы. Поэтому мы вместо множества  введем множество , состоящее из всех векторов  вида

Множество , как и , ограничено и замкнуто и состоит согласно лемме 1 из положительных векторов.

Кроме того, помножая обе части неравенства

на , получаем:

Отсюда, исходя из определения , находим:

.

Поэтому при разыскании максимума  мы можем множество  заменить множеством , состоящим только из положительных векторов. На ограниченном замкнутом множестве  функция  непрерывна и поэтому достигает своего наибольшего значения на некотором векторе .

Любой вектор , для которого

                                                                    (8)

будем называть экстремальным.

Докажем теперь, что: 1) определенное равенством (7) число  положительно и является характеристическим числом матрицы  и 2) любой экстремальный вектор  положителен и является собственным вектором матрицы  для характеристического числа , т. е

, ,                                            (9)

Действительно, если , то . Но тогда , поскольку ни одна строка неразложимой матрицы не может состоять сплошь из нулей. Следовательно, и , так как . Далее, пусть

                                                   (10)

Тогда согласно лемме 1 . Допустим теперь, что . Тогда в силу (1), (8) и (10) получаем последовательно:

, , .

Последнее же неравенство противоречит определению числа , так как из этого неравенства следовало бы  при достаточно малом , т. е. . Следовательно, . Но тогда

,

откуда вытекает: .

Покажем теперь, что модули всех характеристических чисел не превосходят . Пусть

                                                 (11)

Переходя к модулям в левой и правой частях равенства (11), получим:

                                                        (12)

Откуда

.

Допустим, что характеристическому числу  соответствует какой- либо собственный вектор :

Тогда, полагая в (11) и (12) , заключаем, что  - экстремальный вектор и, следовательно, , т. е. , где  . Отсюда следует, что характеристическому числу  соответствует только одно собственное направление, так как при наличии двух линейно независимых собственных векторов  и  мы смогли бы подобрать числа  и  так, чтобы собственный вектор  имел нулевую координату, а это по доказанному невозможно.

Введем в рассмотрение присоединенную матрицу для характеристической матрицы :

где  - характеристический многочлен матрицы , a  - алгебраическое дополнение элемента  в определителе . Из того, что характеристическому числу  соответствует (с точностью до множителя) только один собственный вектор , где , вытекает, что  и что в любом ненулевом столбце матрицы  все элементы отличны от нуля и одного знака. То же положение имеет место и для строк матрицы , поскольку в предыдущих рассуждениях можно матрицу  заменить транспонированной матрицей . Из отмеченных свойств строк и столбцов матрицы  вытекает, что все   отличны от нуля и одного знака . Поэтому

т. е.  и  - простой корень характеристического уравнения .

Так как  - максимальный корень многочлена , то  возрастает при . Поэтому  и , т. е.

                                  (13)

3. Переходя к доказательству второй части теоремы Фробеннуса, мы воспользуемся следующей интересной леммой:

Лемма 2. Если  и  - две квадратные матрицы одного и того же порядка , причем  - неразложимая матрица и

                                                               (14)

то между любым характеристическим числом  матрицы  и максимальным характеристическим числом  матрицы  имеет место неравенство

                                                                   (15)

В соотношении (15) знак равенства может иметь место в том и только в том случае, когда

                                                    (16)

где , a  - диагональная матрица, у которой диагональные элементы по модулю равны единице .

Доказательство леммы. Обозначим через  собственный вектор матрицы , отвечающей характеристическому числу :

                                                   (17)

Из (14) и (17) находим:

                                            (18)

Поэтому

.

Разберем теперь подробно случай . В этом случае из (18) следует, что  - экстремальный вектор для матрицы  и, следовательно,  и  - собственный вектор матрицы  для характеристического числа . Поэтому соотношение (18) принимает вид

                                (19)

Отсюда в силу (14)

                                                                (20)

Пусть , где

Определим диагональную матрицу  равенством

Тогда

.

Подставляя это выражение для  в (17) и полагая там , легко найдем:

                                                            (21)

где

                                                   (22)

Сопоставляя (19) с (21), получим:

                                              (23)

Но в силу (22) и (20) Поэтому из (23) находим:

Поэтому из (23) находим

Поскольку , то это равенство может иметь место лишь тогда, когда

,

т. е

.

Отсюда

.

Лемма доказана.

4. Вернемся к теореме Фробениуса и применим доказанную лемму к неразложимой матрице , имеющей ровно  различных характеристических чисел с максимальным модулем :

Тогда, полагая в лемме  и . Для любого  будем иметь:

                                                 (24)

где  - диагональная матрица с .

Пусть снова  - положительный собственный вектор матрицы , соответствующий максимальному характеристическому числу :

                                                    (25)

Тогда, полагая

                                         (26)

из (25) и (26) найдем:

 (, )           (27)

Последние равенства показывают, что векторы , определяемые из (26), являются собственными векторами матрицы  для характеристических чисел .

Из (24) следует, что не только , но и каждое из характеристических чисел  матрицы  является простым. Поэтому собственные векторы , а значит, и матрицы   определяются с точностью до скалярных множителей. Для однозначного определения матриц  мы будем выбирать первые диагональные элементы этих матриц равными единице. Тогда  и .

Далее, из (24) следует:

 .

Отсюда аналогично предыдущему заключаем, что вектор

есть собственный вектор матрицы , соответствующий характеристическому числу .

Поэтому  совпадает с одним из чисел , а матрица  - с соответствующей матрицей , т. е. при некоторых

, ,

,

Таким образом, числа  соответствующие диагональные матрицы , образуют две изоморфные между собой мультипликативные абелевы группы.

В каждой конечной группе, состоящей из  различных элементов, -я степень любого элемента равна единице группы. Поэтому  - корни -й степени из единицы. Так как существует всего  различных корней из единицы и , то

,

и

 (,)      (28)

 ()                               (29)

Числа  образуют полную систему корней уравнения (4).

В соответствии с (28) будем иметь

 (;)                 (30)

Теперь равенство (24) нам дает (при ):

Отсюда следует, что матрица  при умножении на  переходит в подобную матрицу, и, следовательно, вся система  характеристических чисел матрицы  при умножении на  переходит в самое себя. Далее

поэтому все диагональные элементы в  - корни -й степени из единицы. Перестановкой рядов в  (и соответственно в ) можно добиться того, чтобы матрица  имела следующий квазидиагональный вид:

                             (32)

где  - единичные матрицы, а

,

( - целое; ; ).

Очевидно, что .

Записывая  в блочном виде в (соответствии с (32))

                                   (33)

мы равенство (31) заменим системой равенств

 ( ,).      (34)

Отсюда при любых и либо , либо .

Возьмем . Поскольку все матрицы  одновременно обратиться в нуль, то одно из чисел  () должно равняться . Это возможно лишь при . Тогда  и . Полагая в (34) , аналогично найдем, что  и что  и т. д. В результате получим:

При этом . Но тогда при  в правых частях равенства (34) стоят множители

Одно из этих чисел должно равняться . Это возможно лишь, когда  и  и, следовательно, .

Таким образом,

и матрица  имеет вид (5).

Теорема Фробениуса доказана полностью.

5. Сделаем несколько замечаний к теореме Фробениуса.

Замечание 1. При доказательстве теоремы Фробениуса мы попутно установили, что для неразложимой матрицы , имеющей максимальное характеристическое число , присоединенная матрица  при  положительна:

,                                                             (35)

т.е.

 ,                                (35’)

где  - алгебраическое дополнение элемента  в определителе .

Рассмотрим теперь приведенную присоединенную матрицу (см. гл. IV, § 6)

где  - наибольший общий делитель (со старшим коэффициентом единица) всех многочленов  . При этом из (35') следует, что . Все корни многочлена  являются характеристическими числами, отличными от . Поэтому все корни  либо комплексны, либо вещественны, но меньше . Отсюда , что в соединении с (35) дает:

                             (36)

Замечание 2. Неравенства (35') позволяют определить границы для величины максимального характеристического числа .

Введем обозначения

 , ,

Тогда для неразложимой матрицы

,                                                             (37)

причем знак равенства слева или справа от  имеет место лишь при , т. е. когда все «строчные суммы»  равны между собой.

Действительно, прибавим к последнему столбцу характеристического определителя

все предыдущие столбцы и разложим после этого определитель по элементам последнего столбца. Получим:

.

Отсюда в силу (35') вытекает неравенство (37).

Замечание 3. Неразложимая матрица  не может иметь двух линейно независимых неотрицательных собственных векторов. Действительно, пусть помимо положительного собственного вектора , соответствующего максимальному характеристическому числу , матрица  имеет еще собственный вектор  (линейно независимый от ) для характеристического числа :

 (, ).

Поскольку  - простой корень характеристического уравнения , то

Обозначим через  положительный собственный вектор транспонированной матрицы ' для :

  .

Тогда

;

отсюда, поскольку ,

,

а это невозможно при , , .

Замечание 4. При доказательстве теоремы Фробениуса мы установили следующую характеристику максимального собственного числа  неразложимой матрицы .

,

где  - наибольшее из чисел , для которых имеет место неравенство . Другими словами, поскольку , то и

Совершенно аналогично можно для любого вектора   определить  как наименьшее из чисел , удовлетворяющих неравенству

,

т. е. положить:

.

При этом, если при некотором  имеют место соотношения , , то следует считать .

Совершенно так же, как и для функции , доказывается, что функция  достигает своего наименьшего значения  на некотором векторе .

Покажем, что число , определяемое равенством

                           (38)

совпадает с числом , а вектор  , на котором достигается этот минимум, является собственным вектором матрицы  при .

Действительно,

 (,).

Допустим, что здесь знак  нельзя заменить знаком равенства. Тогда согласно лемме 1

,         (39)

Полагая

,

будем иметь

и, следовательно, при достаточно малом

  ,

что противоречит определению числа . Итак,

.

Но тогда

.

Поэтому из  следует .

В силу замечания 3 отсюда

.

Таким образом, мы имеем для числа  двойную характеристику

           (40)

причем доказано, что  или  достигается только на положительном собственном векторе для .

Из установленной характеристики числа  вытекают неравенства

 (, ) (41)

Замечание 5. Поскольку в (40)  и  всегда достигаются только на положительном собственном векторе неразложимой матрицы , то из неравенств

, ,

или

, ,

всегда следует

, .