Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
§ 2. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов. Закон инерции
Вещественную
квадратичную форму
можно бесчисленным множеством
способов представить в виде
, (9)
где
и
–
независимые вещественные линейные формы от переменных
(отсюда
).
Рассмотрим
неособенное преобразование переменных, при котором первые
из новых переменных
связаны с
формулами
.
Тогда
в новых переменных
и,
следовательно, матрица
имеет диагональный вид:
.
Но
ранг матрицы
равен
.
Следовательно, число квадратов в представлении (9) всегда равно рангу формы.
Мы
покажем, что неизменным при различных представлениях формы
в виде (9) является не
только число всех квадратов, но и число положительных (а значит, и число всех
отрицательных) квадратов.
Теорема
1 (закон инерции квадратичных форм). При представлении вещественной
квадратичной формы
в виде, суммы независимых квадратов
число
положительных квадратов и число отрицательных квадратов не зависят от способа
представления формы в указанном виде.
Доказательство.
Пусть наряду с представлением (9) имеет место другое представление формы
в виде суммы
независимых квадратов
,
и
пусть
Допустим,
что
, например
. Тогда в
тождестве
(10)
дадим
переменным
значения,
удовлетворяющие системе
уравнений
(11)
и
не обращающие в нуль хотя бы одну из форм
. При этих значениях переменных левая
часть тождества (10) равна
,
а
правая равна
.
Таким
образом, допущение
привело нас к противоречию. Теорема
доказана.
Определение
2. Разность
между
числом
положительных
и числом
отрицательных
квадратов в представлении формы
называют сигнатурой формы
.
Ранг
и
сигнатура
определяют
однозначно числа
и
, так как
.
Заметим
еще, что в формуле (9) положительный множитель
можно отнести к форме
. Тогда формула (9)
принимает вид
. (12)
Полагая
, мы форму
приводим к
каноническому виду
. (13)
Отсюда
на основании теоремы 1 заключаем, что всякая вещественная симметрическая
матрица
конгруэнтна
диагональной матрице, у которой диагональные элементы равны
или 0:
. (14)
В
следующем параграфе будет дано правило для определения сигнатуры по
коэффициентам квадратичной формы.