§ 5. Нормальная форма матрицы
Пусть
– 
-мерное
инвариантное подпространство в 
. Выберем в произвольно базис 
и дополним его до
базиса в :
.
Посмотрим,
как будет выглядеть матрица 
оператора 
в этом базисе. Напомним
читателю, что 
-й
столбец матрицы заполняется
координатами вектора 
. При 
вектор 
(в силу инвариантности ) и, следовательно,
последние 
координат
вектора равны
нулю. Поэтому матрица имеет такую форму:
(41)
где
и 
– квадратные
матрицы порядка и
, а 
– прямоугольная
матрица. Равенство нулю четвертого «блока» и выражает инвариантность
подпространства .
Матрица задает
оператор в
, (при
базисе ).
Допустим
теперь, что 
тоже
есть базис некоторого инвариантного подпространства 
, т. е. 
и базис всего пространства
составлен из двух частей, которые служат базисами в инвариантных
подпространствах и
. Тогда,
очевидно, в (41) и блок будет равен нулю и матрица будет иметь
квазидиагональный вид:
, (42)
где
и – квадратные
матрицы порядков и
,
задающие оператор в подпространствах и (при базисах соответственно и ). Нетрудно видеть,
что и, обратно, квазидиагональному виду матрицы всегда соответствует
расщепление пространства на инвариантные подпространства (при этом базис всего
пространства составлен из базисов этих подпространств).
В
силу 2-й теоремы о расщеплении мы можем расщепить все пространство на циклические
подпространства 
:
. (43)
В
ряду минимальных многочленов этих подпространств 
каждый многочлен есть делитель
предыдущего (отсюда уже автоматически следует, что первый многочлен есть
минимальный многочлен всего пространства).
Пусть
. (44)
Обозначим
через 
порождающие
векторы в подпространствах и составим базис всего пространства из следующих
базисов циклических подпространств:
. (45)
Посмотрим,
какова будет матрица 
, отвечающая оператору в этом базисе.
Как
было выяснено в начале этого параграфа, матрица должна иметь квазидиагональную форму
. (46)
Матрица
отвечает
оператору в
при
базисе 
.
Припоминая правило составления матрицы по заданному оператору и заданному
базису (гл. III, стр. 71), найдем:
. (47)
Аналогично
, (48)
и
т. д.
Вычислив
характеристические многочлены матриц 
, получим:
(для
циклических подпространств характеристический многочлен оператора совпадает с
минимальным многочленом подпространства относительно этого оператора).
Матрица
отвечает
оператору в
«каноническом» базисе (45). Если – матрица, отвечающая оператору в произвольном
базисе, то матрица подобна матрице , т. е. существует такая
неособенная матрица 
, что
. (49)
Про
матрицу мы
будем говорить, что она имеет первую естественную нормальную форму. Первая
естественная нормальная форма характеризуется
1)
квазидиагональным видом (46),
2)
специальной структурой диагональных клеток (47), (48) и т. п.,
3)
дополнительным условием: характеристический многочлен каждой диагональной
клетки делится нацело на характеристический многочлен следующей клетки.
Точно
так же, если бы мы исходили не из 2-й, а из 3-й теоремы о расщеплении, то в
соответствующем базисе оператору отвечала бы матрица 
, имеющая вторую
естественную нормальную форму, характеризуемую
1)
квазидиагональным видом
,
2)
специальной структурой диагональных клеток (47), (48) и т. п.,
3)
дополнительным условием: характеристический многочлен каждой клетки является
степенью неприводимого в поле 
многочлена.
В
следующем параграфе мы покажем, что в классе подобных матриц, отвечающих одному
и тому же оператору, существует только одна матрица, имеющая первую нормальную
форму, и только одна, имеющая вторую нормальную форму. Более того, мы дадим
алгоритм для нахождения многочленов по элементам матрицы . Знание этих
многочленов даст нам возможность выписать все элементы матриц и , подобных матрице и имеющих
соответственно первую и вторую нормальную форму.
