§ 9. Метод квадратичных форм. Определение числа различных вещественных корней многочлена
Раус
получил свой алгоритм, применяя теорему Штурма к вычислению индекса Коши
правильной рациональной дроби специального типа [см. формулу (11) на стр. 473].
У этой дроби из двух многочленов – числителя и знаменателя – один содержит
только четные, а другой только нечетные степени аргумента
.
В
настоящем параграфе и в последующих параграфах мы изложим более глубокий и
более перспективный метод квадратичных форм Эрмита в применении к проблеме
Рауса-Гурвица. При помощи этого метода мы получим выражение для индекса
произвольной рациональной дроби через коэффициенты числителя и знаменателя.
Метод квадратичных форм позволяет применить к проблеме Рауса-Гурвица результаты
топких исследований Фробениуса по теории ганкелевых форм (гл. X, § 10) и установить
тесную связь некоторых замечательных теорем П. Л. Чебышева и А. А. Маркова с
задачей устойчивости.
Мы
познакомим читателя с методом квадратичных форм сначала на сравнительно простой
задаче определения числа различных вещественных корней многочлена.
При решении этой задачи мы можем
ограничиться случаем, когда
– вещественный
многочлен. Действительно, пусть дан комплексный многочлен
[
и
–
вещественные многочлены]. Каждый вещественный корень многочлена
обращает в
нуль одновременно и
и
. Поэтому комплексный многочлен
имеет те же
вещественные корни, что и вещественный многочлен
,
являющийся наибольшим общим делителем многочленов
и
.
Итак, пусть
– вещественный многочлен с
различными корнями
соответственно кратностей
:
.
Введем
в рассмотрение суммы Ньютона
При
помощи этих сумм составим ганкелеву форму
,
где
– любое
целое число
.
Тогда
имеет место следующая
Теорема
6. Число всех различных корней многочлена
равно рангу, а число всех различных
вещественных корней равно сигнатуре формы
.
Доказательство.
Из определения формы
непосредственно вытекает
следующее ее представление:
(51)
Здесь
каждому корню
многочлена
соответствует
квадрат линейной формы
. Формы
линейно независимы между собой, так
как коэффициенты этих линейных форм образуют матрицу Вандермонда
, ранг которой
равен числу различных
, т. е.
. Следовательно (см. стр. 269), ранг
формы
равен
.
В
представлении (51) каждому вещественному корню
отвечает
положительный квадрат. Каждой паре комплексно сопряженных корней
и
отвечают две
комплексно сопряженные формы:
;
соответствующие
слагаемые в (51) в сумме дают один положительный и один отрицательный квадрат:
.
Отсюда
легко усмотреть, что сигнатура формы
, т. е. разность между числом
положительных и числом отрицательных квадратов, равна числу различных
вещественных
Теорема
доказана.
Из доказанной
теоремы вытекает, что все формы
имеет
один и тот же ранг и одну и ту же сигнатуру.
Применяя
теорему 6 к определению числа различных вещественных корней, возьмем в качестве
степень
многочлена
.
Используя установленное в главе X (стр. 275) правило определения сигнатуры
квадратичной формы, мы получаем
Следствие.
Число различных вещественных корней вещественного многочлена
равно
избытку числа постоянств знака над числом перемен знака в ряду чисел
, (52)
где
–
суммы Ньютона для многочлена
, а
– ранг ганкелевой формы
[
– степень
многочлена
].
Сформулированное
таким образом правило для определения числа различных вещественных корней
непосредственно применимо лишь в случае, когда все числа в ряду (52) отличны
от нуля. Однако, поскольку здесь идет речь о вычислении сигнатуры ганкелевой
квадратичной формы, то на основе результатов главы X, § 10 это правило с
надлежащими уточнениями применяется в самом общем случае (более подробно об
этом см. § 11 этой главы).
Число
различных вещественных корней вещественного многочлена
равно индексу
(см. стр. 470).
Поэтому следствие из теоремы 6 даст нам формулу
.
В
§ 11 мы установим аналогичную формулу для индекса произвольной рациональной
дроби. Необходимые для этого сведения о бесконечных ганке левых матрицах будут
даны в следующем параграфе.