Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
§ 3. Критерий Грама линейной зависимости векторов
Пусть
векторы
унитарного
или евклидова пространства
линейно зависимы, т. е. существуют
такие не равные одновременно нулю числа
, что
. (12)
Умножив
последовательно обе части этого равенства слева скалярно на
, получим:
(13)
Рассматривая
как
ненулевое решение системы линейных однородных уравнений (13) с определителем
, (14)
заключаем,
что этот определитель равен нулю:
.
Определитель
называется
определителем Грама, составленным для векторов
.
Пусть,
обратно, определитель Грама (14) равен нулю. Тогда система уравнений (13) имеет
ненулевое решение
. Равенства (13) можно записать так
(13')
Умножая
почленно эти равенства соответственно на
и складывая, получим:
;
отсюда
в силу положительной определенности метрики
,
т.
е. векторы
линейно
зависимы.
Нами
доказана
Теорема
1. Для того чтобы векторы
были линейно независимы, необходимо и
достаточно, чтобы определитель Грама, составленный из этих векторов, не был
равен нулю.
Отметим
следующее свойство определителя Грама.
Если
какой-либо главный минор определителя Грама равен нулю, то равен нулю и сам
определитель Грама.
Действительно,
главный минор является определителем Грама для части векторов. Из равенства
нулю этого главного минора следует линейная зависимость между этими векторами,
а значит, и между векторами полной системы.
Пример.
Даны
комплексных
функции
вещественного
аргумента
,
кусочно непрерывных в замкнутом интервале
. Требуется определить, при каком
условии они будут линейно зависимы. Для этого мы в пространстве кусочно
непрерывных в
функций
введем положительно определенную метрику, полагая
.
Тогда
критерий Грама (теорема 1) в применении к данным функциям даст искомое условие
.